CRTSⅡ型轨道板上拱变形的稳定与强度综合分析

陈 醉，刘学毅，肖杰灵，张雯皓，李 威

(1.西南交通大学 高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031；2.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031；3.北京城建设计发展集团股份有限公司， 北京 100034)

CRTSⅡ型板式轨道(以下简称Ⅱ型板)是中国高速铁路的主型无砟轨道结构之一，主要由轨道板、宽窄接缝、CA砂浆层和支承层等组成。轨道板通过宽窄接缝实现纵向连接，形成纵连式轨道结构体系[1-2]。位于轨道板和支承层之间的CA砂浆层对轨道板起垂向支承、调整作用。因受大规模施工作业、复杂的下部基础变形和经时效应下的结构退化等因素影响，在列车荷载、温度及水环境等多场耦合荷载共同作用下，Ⅱ型板极易形成板下脱空、局部伤损和初始上拱等病害，在极端高温条件下会进一步引发上拱变形，并有系统性破坏的潜在风险，极大地威胁着高速行车的品质与安全，引起了广泛关注[3-4]。

对于高温作用下轨道结构的稳定性问题，学者们做了大量的研究，特别是铁路无缝线路稳定性分析理论的建立，为跨区间无缝线路的广泛应用奠定了坚实的基础[5-8]。在初始缺陷等因素诱导下，Ⅱ型板等纵连式无砟轨道受高温作用产生垂向上拱等问题也引起了广泛关注[9]。文献[10-11]通过有限元法对桥上纵连式无砟轨道的整体稳定性进行了分析。文献[12-13]根据能量准则与弹性稳定理论得到了Ⅱ型板上拱的临界温度力与上拱曲线表达式。张向民等[14]考虑了Ⅱ型板上拱变形过程中砂浆层间黏结应力的影响，并研究了竖曲线地段的轨道板上拱稳定性。上述研究主要基于经典的稳定性分析理论，关注了轨道板的上拱稳定性问题，但忽略了与轨道板上拱变形同时存在的混凝土强度失效现象，未能将之统一考虑进行综合分析。罗培林[15-16]基于材料的σ-ε曲线，通过解算弹性基础梁发生复杂弯曲变形时的综合因子与强度稳定因子，分析二者之间的内在联系，建立了强度稳定综合理论(CTSS)，该理论已成功应用于解决深海潜器、加筋板屈服、金属疲劳等问题[17-19]。实践表明，受轨道板施工质量和结构构造特点的影响，Ⅱ型板的上拱失稳亦多伴随着强度失效，符合强度稳定综合理论的研究范畴。但相较于金属材料，钢筋混凝土材料的拉压特性差异较大，需要给予充分考虑。下面将基于CTSS理论，根据Ⅱ型板的材料及结构特性，研究高温环境下上拱变形的强度与稳定综合问题。

1 混凝土的σ-ε格式化算式

根据强度稳定综合理论，材料σ-ε曲线可用极限平衡状态参数Φ来综合表征，表示结构在受弯与受压两种不同荷载作用下达到的极限平衡状态。Φ的计算表达式为

(1)

图1 混凝土σ-ε曲线格式化

(2)

式(2)即σ-ε曲线的格式化算式，亦称作PL(c,m)曲线[15-16]。式中，a、b、c、m均为材料参数，可根据σ-ε曲线得出。

(3)

(4)

(5)

Ⅱ型板所用的C55混凝土在高温环境下受压的σ-ε曲线可用Desayi和Krishnan公式(D-K公式)确定[20]

(6)

(7)

图2 不同PL(c,m)曲线与D-K公式对比

2 Ⅱ型板上拱的CTSS弹性分析

根据Ⅱ型板的结构特点[1-2]，做如下基本假定：

(1)轨道板简化为均匀无限长的弹性平面梁，不考虑宽窄接缝伤损、假缝的影响。假定轨道板存在初始上拱变形，并忽略轨道结构横向变形的影响。

(2)受温度、水及列车动荷载等多场耦合荷载共同影响，砂浆层与轨道板间的黏结状态在线路运营后将极大减弱甚至消失，故轨道板垂向上拱分析中，视砂浆层与板完全脱连，不考虑砂浆层的黏结强度。

(3)相对于轨道板，钢轨自重及抗弯刚度均较小，因此忽略不计，同时忽略扣件系统的作用。

2.1 轨道板上拱形态

在温度压力作用下，轨道板将在有初始上拱变形的区段产生上拱变形。文献[13]根据能量准则，并采用“等波长模型”推导了轨道板的临界温度力，该模型假设轨道板上拱与初拱弦长相等，这与实际情况存在差异，故需考虑弦长不等的情况。假定轨道板存在初拱矢度与弦长，由于Ⅱ型板为纵向连续结构，在轨道板的上拱过程中，其上拱段的边界约束是处于铰接与固结的中间状态，且上拱弦长也会随板中温升发生变化，设其上拱变形曲线y、初拱变形曲线y0分别为边界处无折角即一阶导数连续的半波二次正弦曲线，表示为

(8)

式中：f0、l0分别为初拱矢度与弦长；f、l分别为上拱位移与弦长。假定上拱变形后的曲线为yT，满足yT=y0+y的关系，见图3。

图3 假定变形曲线

在温度力P的作用下，轨道板会产生轴向变形Δl，满足Δl=ΔlT-Δl0的关系。其中,ΔlT为变形后的弧弦差，Δl0为变形前的弧弦差。设l中任一微小弦长dx对应的变形前后的弧长分别为ds0与dsT，则Δl可表示为

(9)

轨道板上拱过程中累蓄总势能U由压缩形变能U1、弯曲形变能U2与重力势能U3组成，表示为

U=U1+U2+U3=

(10)

式中：EI为轨道板的弯曲刚度；ρ、g、A分别为轨道板密度、重力参数、轨道板横截面积。根据能量驻值原理，得上拱位移f表达式为

(11)

式中：k为上拱弦长与初拱弦长比值。k与P的关系可表示为

(12)

2.2 轨道板上拱临界状态

根据式(11)、式(12)，若轨道板初拱线型固定，其上拱位移f受f0、l0、l共同影响。当式(11)的分母趋近0时，f趋近无穷大，可认定轨道板失稳屈曲，此时P即为失稳临界荷载Pcr，l为失稳临界弦长lcr。取4EIπ4-π2lcr2Pcr=0，可得Pcr的表达式为

(13)

式(13)表明，若轨道板发生失稳屈曲，计算Pcr的等效弦长为0.5lcr，即Euler屈曲方程中梁两端固结的情况。虽然轨道板在上拱过程中边界点的位置会发生改变，但上拱段边界仍处于无折角的状态。因此，轨道板的失稳特性与固结状态下Euler梁的屈曲相同。式(13)亦可表示为

(14)

式中：σcr为失稳临界状态下轨道板截面的平均压应力。轨道板在上拱过程中的弯矩有最大值Mmax，出现在x=0的剖面处，表示为

(15)

式中:kcr=l/lcr。当Ⅱ型板上拱达到弹性弯曲变形临界状态时，轨道板截面的弯曲应力σw与平均压应力σl的合力等于抗压强度极限σs，最大弯矩可表示为

Mmax=σwW=(σs-σl)W

(16)

式中:W为轨道板弯矩截面系数。定义φ=kcr2σs/σcr为强度稳定因子，该因子为一个判据，若φ<1.0，则强度失效在前；若φ>1.0，则失稳现象在前。联立式(15)、式(16)，即可得到用强度理论建立的弹性弯曲极限平衡状态的判别式为

(17)

(18)

(19)

根据Ⅱ型板的结构特点，取EI=6.035×107N·m2，ρ=2 400 kg/m3，A=0.51 m2，W=0.017 m3，σs=35.5 MPa。经式(19)计算，得不同初始上拱条件下，n与φ的关系，见图4。其中，l0分别为3、6.5、10、13 m，f0分别为1、3、5、7.5、10、15、20 mm。

图4 n与φ关系示意图

根据Ⅱ型板的结构特性，以轨道板初拱弦长分别为一块板长6.5 m、两块板长13 m为例，分析高温环境下的上拱极限应力。现场调研表明，对于上拱严重路段，轨道板最大上拱矢度会超过10 mm，故分析初拱矢度为0～20 mm的情况。假定板中极限压应力在升温环境下满足σl=EαΔT的线性关系，其中α=1.0×10-5℃-1为热膨胀系数，ΔT为板中温升。联立式(12)、式(15)、式(17)得弹性条件下轨道板的上拱极限应力,见图5。

图5 弹性条件下轨道板上拱极限应力

由图5可见，轨道板上拱极限压应力与初始上拱密切相关。若初拱弦长为一块板长，伴随着初拱矢度的增加，轨道板上拱极限应力与初拱矢度大致呈线性递减的关系。当初拱弦长为两块板长时，若初拱矢度小于5 mm，轨道板几乎不会发生上拱，即综合因子n=∞，σl=σs；初拱矢度大于5 mm后，温度压力引发轨道板上拱，极限应力呈递减趋势，其变化率逐渐增大，当初拱矢度大于10 mm后，极限应力的变化趋于稳定。现场调研结果表明：轨道板整体温升幅值不会超过60 ℃，即板中温度压应力不超过21.3 MPa，其值与抗压强度极限比值为0.6。结果表明，轨道板的极限压应力均超过0.6的限值，因此，若结构变形处于弹性范围内时，现场轨道板不会达到上拱临界状态。

3 Ⅱ型板上拱的CTSS塑性分析

Ⅱ型板为钢筋混凝土结构，当板中应力超过比例极限后，其受力表现为非线性状态，因此基于弹性条件的解析法所得强度稳定因子φ与综合因子n会与实际情况产生误差。下面通过有限元法分析塑性状态下Ⅱ型板上拱变形的强度与稳定特性。

3.1 分析模型与参数

建立轨道板垂向上拱力学分析模型见图6，相应的有限元模型见图7。模型主要由轨道板和CA砂浆组成，忽略支承层、钢轨和扣件系统对结构变形的影响。轨道板建立为尺寸0.1 m的可弯曲平面Euler梁单元，其混凝土材料在受压状态下的σ-ε曲线由D-K公式得出，见图8。因现场Ⅱ型板在高温环境下的上拱不涉及软化阶段，故主要考虑图8中实线部分的σ-ε曲线。由于轨道板在上拱过程中的上拱弦长会随板中温升而发生变化，为消除边界影响，在初始上拱段两端建立了长度为100 m的水平延伸段。由于砂浆层黏结拉力有限，在有限元模型中，轨道板与支承层之间的约束简化为只有单向压缩功能的非线性弹性约束，模拟砂浆层的弹性支承刚度，力-位移关系曲线由CA砂浆弹性模量等效转换获得[1-2]，见图9(位移以弹簧受拉为正，受压为负)。轨道板在高温环境下的温度压力则通过施加板中温升荷载模拟，同时在两端施加等效约束力P使轨道板达到温度力的平衡，满足P=EαΔTA的关系。

图6 轨道极重向上拱力学分析模型

图7 有限元模型

图8 混凝土σ-ε曲线

图9 砂浆层垂向力-位移参数曲线

模型主要计算参数见表1。

表1 主要计算参数

3.2 临界状态分析

图10 φ与l0、f0的关系示意

图10结果表明，随着轨道板应力的增加，板中应力与应变的变化率逐渐减小，至应力达到抗压强度极限时，一阶导数为0，故轨道板在上拱过程中的系统稳定性降低。因此混凝土的受力表现为塑性时，若轨道板发生上拱，强度稳定因子φ大于1.0；此外，当初拱矢度趋于0时，轨道板不发生上拱，即φ=0。故轨道板在塑性变形条件下，其在高温环境下仅表现为综合因子n=1.0或n=∞两种情况。由于塑性状态下的轨道板上拱问题具有高度非线性，解析法难以得出上拱弦长的精确解，故采用数值方法分析强度稳定因子φ与l0、f0的变化关系。根据图10，当φ>1.0时，其值与l0、f0的关系可近似为

φ=0.803 8+0.059 81l0+47.66f0-

0.007 378l02+6.756l0f0-2 031f02+0.000 244l03-

0.591 5l02f0+249.5l0f02

(20)

图11 不同φ条件下的极限应力

图12 极限状态下f0与l0关系

图12表明，当l0约为一块板长6.5 m时，轨道板最易达到上拱临界状态，此时强度稳定因子φ若要维持1.5的限值，f0应小于8.7 mm。此外，若l0<2 m，轨道板则不会达到上拱临界状态。故为保持现场Ⅱ型板的正常运营，若轨道板发生初始上拱，初拱矢度不宜超过8.7 mm，初拱弦长不宜超过2 m，此外应密切关注初拱弦长为6.5 m时可能引起的强度稳定综合失效问题。

4 理论验证

通过现场缩尺模型试验验证前述分析的合理性、可用性。按1∶20的比例建立尺寸为2 200 mm×120 mm×9 mm的纵连式轨道板模型，见图13。模型试验板采用石膏板，材料参数[21]见表2，其中塑性状态下石膏板的σ-ε曲线由D-K公式得出。考虑现场试验的可操作性，模型通过在板中底部塞入钢片的方式模拟轨道板的初拱变形，单块钢片的厚度为3 mm。

图13 纵连式轨道模型

表2 石膏板材料参数

模型一端固定，另一端仅允许纵向位移。通过千斤顶在加力端施加端部力模拟整体温升荷载(见图13)，由0加载至极限荷载，并由压力传感器监控端部力大小。由于石膏板表面黏合的护面纸能提高其抗折强度，故可通过保留护面纸的方式得出失稳极限荷载，割断护面纸后即可得试验板的强度极限荷载。稳定失效与强度失效后的试验板见图14。

图14 试验板失效

由图14可见：石膏板试件因其构造特点，试验过程中的强度失效表现为失稳屈曲发生后的折断，故对于此类材料，失稳现象在前。将现场试验参数与边界条件代入推导公式与有限元模型计算，并与试验结果进行对比。由于模型具有尺寸效应，故通过Weibull统计理论进行修正，公式表示为[22]

(21)

(22)

式中：r为试验强度与理想强度的比值；σ0、σ1分别表示体积为V0、V1的物体的平均强度，在此分别代表理想强度与试件强度；q为Weibull模量，反映材料的匀质度大小；Cv为离散系数，即标准差与平均值的比值。在f0分别为0、3、6 mm的条件下各进行十组加载，测得试验板极限荷载的平均值、标准差、Cv值、q值及r值，见表3。

表3 极限荷载统计参数

表3表明，试验板的初始上拱对离散系数几乎无影响，故求均值得Cv=0.041 89，据此可推算出r=1.357。故现场缩尺试验所得极限应力应为理论值的1.357倍。将极限荷载换算为相应的应力状态，并由式(21)、式(22)修正，其结果与弹性、塑性状态下理论分析值的对比见表4。

表4表明：理论值与试验结果吻合得较好。塑性状态下所得极限荷载与修正后的试验结果更为接近，其偏差均小于10%的限值，最大偏差约为5%，可说明石膏板的受力表现为塑性；弹性条件下所得极限荷载略大于修正后的试验结果，最大偏差约为15%，故弹性条件下所得极限荷载的结果偏于安全。

表4 修正后的极限应力对比

经验证，基于CTSS理论的Ⅱ型板上拱弹、塑性模型可用于深入分析其在高温环境下的稳定与强度综合问题。

5 结论

(1)Ⅱ型板所用混凝土的σ-ε曲线可表示为PL(4,-0.252)形式的格式化曲线，该曲线可利用确定极限平衡状态参数的判据求解Ⅱ型板上拱的强度稳定综合问题。

(2)综合因子n能说明轨道板上拱过程中弹性弯曲极限平衡状态的性质。n越大，轨道板越不易发生上拱变形。当n=∞时，轨道板在高温环境下仅受表现为轴向受压状态；当n=1.0时，系统的临界状态表现为失稳；当n>1.0时，轨道板表现为上拱的压弯状态。

(3)轨道板若处于弹性变形范围内，则不会达到上拱临界状态；若表现为塑性变形，强度稳定因子φ不宜超过1.5的限值，即f0不宜超过8.7 mm，l0不宜超过2 m；当l0约为一块板长6.5 m时，轨道板最易达到上拱临界状态。