带时滞项的高阶Kirchhoff型方程的惯性流形

王利波,徐瑰瑰,林国广

(1.凯里学院 理学院,贵州 凯里 556011；2.云南大学 数学与统计学院，云南 昆明 650091)

无穷维动力系统的长时间性态已经得到广泛研究.在非线性偏微分方程无穷维动力系统的长时间行为的研究中，惯性流形的概念起着重要作用.惯性流形是系统的有限维的正不变的Lipschitz流形，在有限维的惯性流形上，可以把无穷维动力系统转化为有限维动力系统,有利于对无穷维动力系统的研究.文献[11]首次考虑半线性抛物方程情形下的非线性偏微分方程的惯性流形,文献[12]考虑二阶时滞波方程的惯性流形,文献[13]考虑带有时滞项的高阶Kirchhoff型方程的拉回吸引子的存在性.

论文讨论如下带时滞项的高阶Kirchhoff型方程解的适定性及其惯性流形的存在性

(1)

边界条件为

(2)

初始条件为

(3)

1 基本假设

Ae

=

μ

e

，

‖

v

‖=sup{‖

A

v

(

θ

)‖:

θ

∈[-

r

,0]}

.

(F2)

f

(0)=0.

|

f

(

ξ

)-

f

(

η

)|≤

L

‖

ξ

-

η

‖

.

(F4)假设

v

→

f

(

v

)=

f

(

v

)+

f

(

v

)，其中

f

和

f

分别是从

D

(

A

)和

C

到

H

的映射，且使得‖

f

(

w

)-

f

(

w

)‖≤

M

‖

A

(

w

-

w

)‖,∀

w

,

w

∈

D

(

A

)，‖

f

(

v

)-

f

(

v

)‖≤

M

‖

v

-

v

)‖,∀

v

,

v

∈

C

，其中：

M

,

M

是正常数.对非线性项

g

(

u

)做以下假设：

2 解的存在唯一性

(4)

非线性方程组(4)满足初始条件

其中：1≤

j

≤

k.

显然,上面的有限维时滞系统至少是局部适定的.利用先验估计证明对∀

T

>0，解在每个区间[-

r

,

T

]上是有定义的.

对上式在[0,

t

]上积分,可得

(5)

其中:

C

>0

.

G

(

u

)≤

δ

‖

u

‖+

C

，

则

(6)

其中:|

Ω

|表示空间

Ω

的测度.

(7)

用

t

+

θ

代替上式中的

t

，并利用Gronwall不等式可得

(8)

结合(7)，(8)式可知，对∀

T

>0，有

故

u

是方程(1)在条件(2)，(3)下的解且‖D

u

‖有界.由经典不动点理论可得解的唯一性.

3 惯性流形的存在性

下面证明方程(1)在如下初始条件下惯性流形的存在性

(9)

记

则方程(1)和初始条件(9)可化为

(10)

考虑分解

E

=

E

⊕

E

，其中

E

=span{(

e

,0),(0,

e

):

k

=1,2,…,

N

}，

E

=span{(

e

,0),(0,

e

):

k

≥

N

+1}

.E

和

E

的Hermitian内积分别定义为〈

U

,

V

〉=

α

((-

Δ

)

u

,(-

Δ

)

v

)-4(‖D

u

‖(-

Δ

)

u

,

v

)+(

αu

+

u

,

αv

+

v

)，

其中:

U

=(

u

,

u

),

V

=(

v

,

v

)分别属于相……