基于有限域上仿射空间构造新码本

刘雪梅，贾丽华

（中国民航大学理学院，天津300300）

一个参数为（N，K）的码本C 是由N个单位向量{c1，c2，…，cN}构成的集合，ci长度为K，其中，1≤i≤N。码本作为信息的载体可用于传输不同的信息，且有着低重复率、强保密性的优点。在实际应用中，对于一定的长度K，希望码本的向量个数N尽可能大，而最大相关幅度尽可能小，这样可以降低信号之间的相互干扰。然而，码本的参数受到理论界限的制约，其最大相关幅度和参数N和K之间满足一定的界，即Welch 界[1]。当N≥K时，如果码本C 的最大相关幅度能达到Welch界，则称码本C 为MWBE（maximal Welch bound equality codebook）码本或最优码本[2]。MWBE 码本仅存在于非常有限的码字个数和码字长度的条件下。对MWBE 码本的研究，主要有以下几方面：①任意N＞1，由m序列构造参数为（N，N-1）的MWBE 码本；②任意N＞1，基于离散傅里叶变换构造（N，N- 1）的MWBE 码本，基于ZN中的（N，K，λ）差集构造参数为（N，K）的MWBE 码本[3]；③设d是一个给定的正整数，当N=2K=2d+1或N=2K=pd+1，且p是素数时，用协商矩阵构造参数为（N，K）的MWBE 码本[4-5]；④采用有限域Fq中的（N，K，λ）循环差集[2]和阿贝尔差集[6]构造参数为（N，K）的MWBE 码本；⑤用（2，k，υ）施泰纳坦纳系构造参数为（N，K）的MWBE 码本[7]；⑥采用图论和有限几何构造参数为（N，K）的MWBE 码本[8-10]。

最优码本的约束条件较严格、限制因素较多，因此，构造最优码本的方法较少且难以构造达到Welch界的最优码本。码本的最大相关幅度渐近达到Welch界时，称为渐近最优码本，即放宽了码本的约束条件，使得参数选取更加灵活。同时，当码本中的码字足够长时，渐近最优码本与最优码本性质相似，因此，构造渐近最优码本是一个折中的方法。Ding 等[11]提出了利用几乎差集构造近似最优码本的方法，但满足条件的几乎差集较少；……