不可压Navier-Stokes方程的投影方法*

张庆海 李阳

(浙江大学数学科学学院, 杭州 310027)

不可压Navier-Stokes方程是流体力学的基本控制方程, 其高精度数值模拟具有重要的科学意义.本综述性文章回顾了求解Navier-Stokes方程的投影方法, 重点介绍了时空一致四阶精度的GePUP方法.该方法用一个广义投影算子对不可压Navier-Stokes方程进行了重新表述, 使得投影流速的散度由一个热方程控制, 保持了UPPE方法的优点.与UPPE方法不同的是, GePUP方法的推导不依赖于Leray-Helmholtz投影算子的各种性质, 并且GePUP表述中的演化变量无需满足散度为零的条件, 因此数值近似Leray-Helmholtz投影算子的误差对精度和稳定性的影响非常透明.在GePUP方法中, 时间积分和空间离散是完全解耦的, 因此对这两个模块都能以“黑匣子”的方式自由替换.时间积分模块的灵活性实现了时间上的高阶精度, 并使得GePUP算法能同时适用于低雷诺数流体和高雷诺数流体.空间离散模块的灵活性使得GePUP算法能很好地适应不规则边界.理论分析和数值测试结果都显示, 相对于二阶投影方法, GePUP方法无论在精度上还是效率上都具有巨大优势.

1 概 述

1900年, 著名数学家希尔伯特在国际数学联盟IMU (International Mathematical Union)巴黎会议上提出了23个数学问题, 这个列表极大地影响了20世纪的数学发展.1998年, 菲尔兹奖得主Smale[1]应IMU的邀请, 给出了18个他认为在21世纪非常重要的数学问题.2000年5月, 克雷数学研究所发布了七个千禧年数学问题[2], 由于这些问题的重要性, 解决其中任何一个都能获得100万美元的奖金.在千禧年数学问题和Smale的18个……