“铅垂高”的最值在二次函数中的应用

万旭光

《中小学数学》多期刊文对“铅垂高”的定义、应用进行了探讨，本文沿用他们的定义，将夹在抛物线和直线之间与x轴垂直的线段称为“铅垂高”，并就其存在最大值或最小值的性质及其应用作一个粗浅的探究.

一、“铅垂高”的最大值、最小值的探究

例1：如图1，已知二次函数y=-x2+2x+3与y=-x+3直线交于B、C两点，P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，垂线PH交抛物线于点D，求PD的最大值。

解：设P（x，y），其中0

∴x=时，PD的最大值为

例2：如图2，已知二次函数y=-x2+2x+3图象与直线y=x+4无交点，P为抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，垂线PH交直线y=x+4于点D，求PD的最小值。

解：设P（x，y）

∴x=时，PD的最小值为

小结：从以上两个例子可以发现，线段PD夹在抛物线与直线之间，当P点在抛物线上运动时，PD的长度是以P点横坐标x为自变量的二次函数，这样PD长度的最值问题就转化成了二次函数的最值问题，进一步研究发现无论抛物线开口方向如何，当直线与抛物线无交点时，夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”，存在最小值;当直线与抛物线有交点时，夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”，在两交点横坐标之间的区间上存在最大值.

二、“铅垂高”最值的应用

1.利用“铅垂高”最大值，求三角形面积的最大值

例3：（2008·深圳） 如图3，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a>0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=.

（1）求二次函数的表达式;

（2）若点D（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AD下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APD的面积最大？求出此时P点的坐……