函数图像的绘制方法与技巧

何圣姿

【摘要】“数缺形时少直观，形少数时难入微”.函数是数学的基础，它贯串数学学习的始终.如果能作出函数的图像，就能利用图像的直观性快速了解函数的形态特征.本文给出了几种绘制函数图像的方法与技巧，为研究函数的性质提供指导.

【关键词】函数图像;初等函数;变换;导数

随着现代信息技术的发展，借助Matlab，Mathematica，GeoGebra，Excel等软件可以方便地绘制各种函数的图像.但如何指出图像上的关键点，选择作图的范畴，从而进行人工处理，仍需要我们能够手工绘制函数的简图.所谓简图即指图像的基本样式是正确的，但细微之处可以不太深究.下面给出几种手工绘制函数简图的方法，并以实例呈现其使用技巧.

一、基本初等函数

当函数是基本初等函数，如，常函数y=c（c为常数）、一次函数y=kx+b（k≠0）、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）、反比例函数y=kx（k≠0）、幂函数y=xa（a∈R）、指数函数y=ax（a>0且a≠1）、对数函数y=logax（a>0且a≠1），三角函数y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x，反三角函数y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x，y=arccot x等形式时可以直接快速绘制出其简图.

二、通过简单变换绘制函数图像

当所绘制的函数图像可以由基本初等函数y=f（x）的图像通过平移、对称、翻折、伸缩等变换而得到时，可以用以下方法绘制出其简图.

1.平移变换

y=f（x）a>0时，向左平移a个单位a<0时，向右平移a个单位y=f（x+a）;

y=f（x）a>0时，向上平移a个单位a<0时，向下平移a个单位y=f（x）+a.

2.对称变换

y=f（x）关于y轴对称y=f（-x）;

y=f（x）关于x轴对称y=-f（x）;

y=f（x）关于直线y=x对称y=f-1（x）;y=f（x）关于原点对称y=-f（-x）.

3.翻折变换

y=f（x）保留y轴右侧图像并作其关于y轴对称的图像再删除在y轴左侧的原图y=f（x）;

y=f（x）保留x轴上方的图像[]把x轴下方的图像翻折到x轴上方y=f（x）.

4.伸缩变换

y=f（x）a>1时，横坐标缩短为原来的1[]a00）;

y=f（x）a>1时，纵坐标伸长为原来的a……