空间直角坐标系的建系策略

潘敬贞 唐明超

(1.广东省佛山市顺德区容山中学 528303；2.云南师范大学信息学院 650500)

坐标法是解决立体几何问题的重要方法，借助坐标法可以将空间几何问题转化为代数问题，既可以降低几何问题的抽象性，同时也为解决实际问题开辟了一条新的途径.用坐标法解决空间几何问题，首先需要合理建立空间直角坐标系.建立空间直角坐标系的过程就是根据问题给定的空间几何关系在几何图形中寻找三条两两互相垂直的直线，通过平移等方式让三条直线交于一点，并尽可能的让与问题相关的点落在坐标轴上，使得相关点的坐标更易求，使得问题的求解更加简洁、高效.文章结合实例谈建立空间直角坐标系的策略.

一、基于共顶点的三条互相垂直的棱建系

例1如图1，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=BD=4，E，F分别为棱BC，AD的中点.

(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；

(2)求点E到平面ACD的距离；

(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值.

解析如图2，以B为坐标原点，分别以BC，BD，BA所在直线为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则依题意得，B(0,0,0)，A(0,0,4)，C(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,0)，F(0,2,2).

评注本题虽然解法较多，但是坐标法解题具有较强的直观性，可以有效降低几何问题的抽象性.在解决立体几何有关问题时，如果已知条件中有三条直线两两互相垂直，则可以通过建立空间直角坐标系用坐标法来解决.当然，在考题中，已知条件中有三条直线两两互相垂直的情况比较少见，更多是利用图形的特点与性质作出两两互相垂直且交于一……