带Lévy跳的随机SIQR模型的分析研究

刘世杰，刘茂省

（中北大学 理学院，太原 030051）

传染病是影响社会发展的重要问题，许多学者利用数学建模思想，根据疾病的传播机理建立了SI、SIR、SIV、SIQ等经典模型，对模型进行动力学分析，分析传染病的发展趋势并提出合理建议。对传染病的研究大多用确定性的系统来分析，但在疾病传播过程中仍然会有一些随机因素干扰［1－5］。文献中通常用白噪声来表示环境因素等的扰动，如气候、温度等，然而当遭遇重大自然灾害或突变（如地震、海啸、飓风或大型传染病等因素）时，在短时间内会改变种群规模，这种扰动的刻画是有一定难度的，研究者们提出用Lévy跳来描述刻画这些因素的影响［6－10］。

有很多学者对此类带Lévy跳的模型进行了分析，如Zhang等［8－10］分析了SIR、SEIR及艾滋病模型，得到了平衡点附近的渐近性质。Zhou等［11］研究了随机SIR模型，得到了疾病灭绝和存在的充分条件；Ge等［12］研究了具有非线性发生率的SIS模型，在得到疾病灭绝和存在充分条件的基础上还做出数值模拟，说明了随机扰动对传染病的影响。随着理论的发展和完善，也有更多模型出现，如Fan等［13－14］考虑将非线性发生率、时滞、白噪声和Lévy跳多种因素结合起来，得到疾病存在和灭绝的充分条件。

1 模型建立

考虑以下具有隔离的SIQR模型：

式中：S（t）代表易感者的数量；I（t）代表感染者的数量；Q（t）代表隔离者的数量；R（t）代表恢复者的数量；A为群体输入率；β为传染病的感染率；μ为自然死亡率；μ0和μ1分别为感染者和隔离者的因病死亡率；γ为感染者的恢复率；……