基于相平面法的一类瑞利方程的研究

周小燕,杨 惠，赵春艳，梁青青

(兰州文理学院 传媒工程学院， 甘肃 兰州 730000)

自然界中很多现象都可以利用非线性振动方程来描述,因此,求解非线性振动方程就有非常重要的意义.目前已有多种求解非线性振动方程的方法：如PL摄动法[1-2]，平均法和渐进法[3]，多尺度法[4]等,但这些方法都是对非线性振动方程进行定量研究.如果系统中有强非线性，则这些方法就不适用了，但可用相平面法来对该系统进行研究.相平面法是研究非线性振动的有效方法之一，它是一种几何方法，也称定性方法.它可将振动系统的运动都表示在相平面上，可一目了然地了解运动情况.2000年，Wang和Yan[5-6]利用巧合程度理论从理论角度给出了含延时的非自治瑞利方程周期解的存在条件.2012年，吕堂红[7]利用相平面法及其分支理论研究了具时滞物价瑞利方程的动力学性质，文章中就系统平衡点附近的稳定性、局部Hopf分支的存在性发生条件等方面进行了研究.基于文献[8-10]，本文应用相平面法研究了一类瑞利振子的平衡点和极限环，并且研究了不同ε情况下系统的振动情况.

1 瑞利方程

英国数学物理学家Lord Rayleigh为了模拟芦笛、簧片等单簧管的振动提出了一个含非线性阻尼的振子方程，即瑞利方程：

(1)

当f(t)=0时，方程变为一Lienard型方程，即：

(2)

在(1)(2)式中，A、B都为非线性系，考虑当k=ω02,A=-ε,B=ε时方程(2)则变为：

(3)

在(3)式中，其中ε是系统中的非线性相互作用系数，ω0表示系统的频率.

2 系统的平衡点及其相迹

非线性方程解的形式或性……