哥德尔不完备定理的不可判定性

王海东

【摘要】如果将无意义对角化语句视为被证明的对角化语句，哥德尔不完备定理在一阶理论中就是成立的.如果将有意义对角化语句视为被证明的对角化语句，哥德尔不完备定理在一阶理论中就是不成立的.由于哥德尔不完备定理在一阶理论中既是成立的又是不成立的，所以哥德尔不完备定理就变成了一个不可判定的一阶理论.

【关键词】哥德尔不完备定理;哥德尔完备性定理;哥德尔对角化语句构造定理

哥德尔不完备定理包括哥德尔第一不完备定理和哥德尔第二不完备定理.哥德尔第一不完备定理，是指包含二元谓语的一阶理论存在着一个不可判定的对角化语句.哥德尔第二不完备定理，是指任何一种具有相容性的一阶理论都不可能证明自身的相容性.由于哥德尔第二不完备定理是从哥德尔第一不完备定理中推导出来的，所以我们可以将哥德尔第一不完备定理视为哥德尔不完备定理的理论依据.

那么，哥德尔第一不完备定理是否成立呢？显然，要想知道哥德尔第一不完备定理是否成立，就必须知道对角化语句的构造方法.

那么，应当用什么方法构造对角化语句呢？显然，要想知道应当用什么方法构造对角化语句，就必须知道个体变元的哥德尔数.

那么，什么是个体变元的哥德尔数呢？从哥德尔数的定义来看，个体变元的哥德尔数就是用大于13的质数指数对所有个体变元进行编码的哥……