浅谈三种插值方法的研究与比较

华友情

（曲阜师范大学，山东 济宁 273165）

一、拉格朗日插值

（一）拉格朗日插值原理与方法

定理1（拉格朗日插值原理）

（二）拉格朗日插值方法的实例应用

当x=3 时,L(3)=0.0909 与精度解f(3)=0.090909 相比,存在小误差,精度可以接受;

当x=4.5 时,L(4.5)=0.3809 与精度解f(4.5)=0.04494382 相比,误差非常大,精度很低。因此,拉格朗日插值多项式便于理论推导和形式地描述算法,但不便于计算函数值。因为用拉格朗日插值多项式Ln(x)计算函数近似值,如果精度不满足,需增加节点时,原来计算出的数据均不能利用，必须重新计算。为了克服这个缺点,可以采用牛顿插值多项式方法,为了克服这种缺点,可以采用牛顿插值多项式方法,这两种方法是在拉格朗日插值的基础上组合已知的计算值,提高计算效率,可达到加速计算。

二、牛顿插值

（一）牛顿插值原理与方法

定义2（差商）

定理2（牛顿插值原理）

根据差商的定义，将x 看作[a,b]上一点，可得

（二）牛顿插值方法的实例应用

x=3 时,Y(3)=0.0909 与精度解f(3)=0.090909 相比,存在小误差。当x=4.5 时发现,Y(4.5)=0.044944 与精度解f(4.5)=0.04494382 相比,误差也比较小。因此牛顿插值方法的精度比拉格朗日插值方法高。

将区间[-5,5]作10 等分,并将已知的11 个节点分成两段,对两段分别用5 次牛顿多项式插值,再进行拼接。这与拉格朗日插值结果相比,在一定程度上克服了龙格现象,但是在拼接处存在尖端,光滑度不理想。

（三）三次样条插值

定义3（三次样条插值函数）