准晶材料断裂力学复变函数方法的发展及其应用

刘昉昉, 李联和,2

(1.内蒙古师范大学 数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022;2.内蒙古师范大学 应用数学中心,内蒙古 呼和浩特 010022)

1 准晶材料断裂力学复变函数方法的发展历程

20世纪初,经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼、魏尔斯特拉斯等人的发展,复变函数理论内容体系已经比较完善。弹性力学的研究希望获得同时满足全部弹性力学方程和边界条件的解析解,而复变函数理论正是可以满足这一要求的工具。1909年,俄国力学家科洛索夫(G.V.Kolosov)首次运用复应力函数法解决了二维弹性静力学问题[1],从此打开了用复变函数方法研究弹性力学的大门。随后他的学生穆斯海利什维利(Muskhelishvili)在1933年出版的专著《数学弹性力学的几个基本问题》[2]中,全面系统阐述了平面弹性理论中的复变函数方法,使得一般的平面问题都可以利用复变函数方法求解,并解决了许多复杂的实际问题。1957年,欧文(G.R.Irwin)提出了能量释放率,标志着线弹性断裂力学的建立。复变方法很自然地被应用到了断裂力学领域,发挥了其不可替代的作用。列赫尼茨基(Lekhnitskii)方法是解决各向异性材料平面弹性理论问题的有效方法之一,专著《各向异性板》[3]给出了许多重要问题的有效解。

Stroh方法形式简单,使用方便,是求解各向异性弹性体二维变形问题的有效工具,其推广形式在求解混合边值问题、热电材料、压电材料、三维各向异性弹性体、多自由度系统振动等方面应用广泛。随后Stroh[4-5]又发现六维本征理论,得到的应力和位移的表达式近乎一致。之后又由Barnett和Lothe[6]、Chadwick和Smith[7]、Ting[8]将这一公式进一步完善.

准晶体是1984年发现的一种无平移周期性但有位置序的介于晶体和非晶体之间的固体[9]。准晶材料具有独特的物理结构和优越的力学性能。由于准晶中相位子场的存在,导致准晶材料力学性能的研究比传统晶体复杂。近年来,学者对于准晶体的力学性能和电学性能展开了一系列研究,将经典的Muskhelishvili方法、Lekhnitskii方法、Stroh方法运用到准晶的弹性及缺陷问题(例如孔洞、位错、裂纹等)的研究中。Ding等[10-11]建立了准晶线性基本弹性理论。范天佑[12]通过引入复变量或广义复变量,研究了若干准晶断裂力学问题。王旭等[13-14]利用复变函数方法解决了二维十次准晶体中半无限裂纹和位错的相互作用以及任意形状夹杂的Eshelby问题。刘官厅等[15]用复变函数法推导了弹性场的控制方程及其通解,系统地研究了一维准晶体中所有点群的平面弹性理论。李联和等[16-17]提出了解决点群10 mm准晶体平面弹性和位错问题的一般复变函数方法,并获得了准晶位错问题位移的解析解。高阳等[18-19]运用Stroh公式求解了一维准晶体中含椭圆孔和线性夹杂问题。皮建东[20]推导了三方准晶系的一般方程,并将复变方法与实际问题相结合,获得一定边值条件下缺陷问题的一般解。郭俊宏等[21]构造保角映射,解决了一维六方准晶体中含双裂纹的椭圆孔口反平面剪切问题。Enrico等[22]利用Stroh方法研究了二维十次对称准晶中的直线裂纹问题。李翔宇等[23]利用复变函数方法引入了两个位移势函数,得出便于求解关于裂纹、位错和非均匀性的边值问题的通用解。于静等[24]严格推导了一维准晶压电各晶系的控制方程,利用复变方法和算子方法给出控制方程的一般解。周彦斌等[25]考虑了含螺型位错一维六方准晶压电材料的断裂力学问题。采用Stroh公式,樊世旺等[26]研究了含正三角形孔边裂纹一维六方准晶压电材料弹性场。崔晓微等[27]研究了在反平面载荷作用下含螺型位错一维六方准晶压电楔形体的断裂问题。杨娟等[28]运用复变函数方法获得了含圆孔边周期裂纹一维六方准晶压电材料弹性场的解析表达式。高媛媛等[29]求解了反平面剪切作用下一维六方准晶压电材料中三角形孔边裂纹快速传播的问题。白巧梅等[30]利用复变函数方法得到了一维六方准晶压电体裂纹尖端的应力分布和场强度因子解析表达式。

为更好地说明复变方法在准晶断裂力学中的广泛应用,本文研究含螺型位错的立方准晶压电材料的断裂力学问题。

2 含螺型位错的立方准晶压电材料的断裂问题

立方准晶压电材料反平面问题的本构方程为[9]

(1)

其中:σi j和εi j分别表示声子场的应力和应变;Hi j和ωi j分别表示相位子场的应力和应变;Di表示电位移;Ei表示电场;C44为声子场弹性系数;K44为相位子场弹性系数;R3为声子场与相位子场耦合系数;e14和d123为压电常数,λ11为介电常数。

平衡方程为(不考虑体力情况)

σi3,i=0,Hi3,i=0,Di,i=0 (i=1,2)。

(2)

几何方程为

(3)

其中:uz表示声子场位移;wz表示相位子场位移;Φ表示电势。

由方程(1)(2)(3)可以获得位移和电势的控制方程

(4)

这样,立方准晶的反平面弹性问题就归结为在适当的边界条件下求解偏微分方程组(4)。把方程组(4)改写为矩阵方程[24]

AU=0,

(5)

其中U=(uz,wz,Φ)T,A是微分算子矩阵,

(6)

由方程(6)可知,A的行列式为

(7)

下面引入位移函数F,满足方程

(8)

根据算子理论,方程(5)的一般解可表示为

uz=Ai1F,wz=Ai2F,Φ=Ai3F(i=1,2,3)。

(9)

取i=2,由方程(6)可知,A的代数余子式为

(10)

把方程(10)代入方程(9)得

(11)

(12)

(13)

假设位移函数F(x,y)的形式为F(x,μy),则μ必须满足特征方程[31]

aμ6+bμ4+bμ2+a=0。

(14)

方程(14)有6个纯虚数根,

根据解析函数的性质和方程(8),可以获得位移函数F的复表示为

(15)

其中Re表示实部,Fk(zk)为含参数zk=x+μky(k=1,2,3)的三个任意解析函数。结合方程(1)(3)(11)(12)(13)可知

(16)

假设立方准晶压电材料含螺型位错的Burgers矢量为(b1,b2,d),沿位错线方向均匀分布着载荷(p1,p2,q),其中b1是声子场位移跳跃值,b2是相位子场位移跳跃值,d为电势跳跃值,p1、p2为线力,q为线电荷。

根据位错的边界条件有

(17)

(18)

由方程(16)和(18),可以给出含螺型位错的立方准晶压电材料反平面问题的应力和电场的解析解。

综上所述,本文简要回顾了准晶材料断裂力学复变函数方法的发展历程,致力于促进断裂力学复变方法的发展。运用复变函数方法,考虑了含螺型位错立方准晶压电材料断裂力学问题,获得了声子场、相位子场应力、位移和电场的解析表达式,再一次说明了复变函数方法在准晶材料断裂力学研究中应用的广泛性。