伪核逆的广义Cline公式和广义Jacobson引理

管健行，宋贤梅，李明珠

(安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241002)

引言

Cline[7]证明了环中若ab是Drazin可逆的，则ba是Drazin可逆的。此时(ba)D=b[(ab)D]2a，称之为Cline公式。Liao[8]证明了Cline公式适用于广义Drazin逆。近几年，许多学者对Cline公式也进行了各种形式的推广。Zeng[9]研究在dbd=acd,aca=dba条件下广义逆的Cline公式。Chen[10]研究环中Drazin逆，广义Drazin逆，伪Drazin逆在dbd=acd,bdb=bac条件下的Cline公式。Shi等[6]研究了当ab有伪核逆，则ba有伪核逆的充分必要条件。

受此启发，本文研究了在dbd=acd,bdb=bac条件和dbd=acd,aca=dba条件下伪核逆的广义Cline公式和广义Jacobson引理。为了简便，我们将条件dbd=acd,bdb=bac记为条件1，条件dbd=acd,aca=dba记为条件2。文中的第二部分，我们给出了在条件1下ac是伪核可逆，则bd是伪核可逆的充分必要条件，且由ac的伪核逆给出了bd的伪核逆。第三部分研究了在条件2下ac(或bd)是伪核可逆，则bd(或ac)是伪核可逆的充分必要条件，且由ac(或bd)的伪核逆给出了bd(或ac)的伪核逆。第四部分我们给出了在条件1下1-ac是伪核可逆，则1-bd是伪核可逆的充分必要条件，且由1-ac的伪核逆给出了1-bd的伪核逆。第五部分，我们给出了在条件2下1-ac(或1-bd)是伪核可逆，则1-bd(或1-ac)是伪核可逆的充分必要条件，且由1-ac(或1-bd)的伪核逆给出了1-bd(或1-ac)的伪核逆。

最后，为了讨论的方便，给出文中需要的定义与符号。

设R是有单位元的结合环，若存在映射*：R→R使得对所有的x，y∈R，均满足(1)(x+y)*=x*+y*,(2)(xy)*=y*x*,(3)(x*)*=x,则称R是*-环。

定义1[11]a∈R是伪核可逆当且仅当存在x∈R满足下列条件：

(1)xam+1=am,整数m≥1；(2)ax2=x；(3)(ax)*=ax。

若这样的x存在，则它是唯一的且称之为a的伪核逆(记为a)。

定义2[11]a∈R是对偶伪核可逆当且仅当存在y∈R满足下列条件：

(1)am+1y=am,整数m≥1；(2)y2a=y；(3)(ya)*=ya。

若这样的y存在，则它是唯一的且称之为a的对偶伪核逆(记为a)。……