逆向思维在初中数学解题中的应用探讨

王会兵

摘 要：数学是初中教育体系的重要组成部分，是培养学生思维能力的重要学科。初中是学生中小学时代数学学习承上启下的阶段，也是学生思维能力发展的关键阶段。在这一阶段的数学教学中，教师不仅要教给学生理论知识，学习方法，更要注重学生思维能力培养，这是数学新课标基本要求，也是数学核心素养对广大数学教师提出的根本任务。文章结合自身教学经验，以初中数学教学为例，分析逆向思维及其在初中数学教学中的价值，研究初中数学解题策略，探讨逆向思维在初中数学解题中的具体应用，借此培养学生逆向思维，促进学生数学思维发展，提高学生数学学习效率。

关键词：初中数学;逆向思维;解题;教学

一、 引言

逆向思维是一种反向思维，是数学思维中一个非常重要的原则，是创造性思维的基本组成部分，培养学生创造性思维就需要学生先具备良好的逆向思想。真所谓“此路不通彼路通，条条大道通罗马”。数学学习过程中有时候往往需要“反其道而思之”，尤其是在解决数学问题过程中，按照常规思维思考，常常走进思维“死胡同”，久而不能得其法，此时若能够换一个角度思考，从问题的逆向出发，也许很多看似复杂的问题也就迎刃而解了。因此，在初中数学教学中，教师非常关注学生逆向思维发展，也常常引导学生应用逆向思维解题，以促进学生思维能力发展。

二、 逆向思维在初中数学教学中的作用分析

（一）逆向思维有利于促进学生思维发展

新时代数学教学不再是以知识传授为主的活动，而是既注重知识教学，也重视学生技能和思维能力发展的多功能教学活动。尤其是数学这门课程，关乎学生逻辑思维、创新思维、发散思维等多种思维发展。在初中数学教学中多引导学生应用逆向思维，能够激活学生逻辑思维能力，让学生思维更加灵活和开放，避免学生形成思维定式。所以，单从学生思维发展需要的角度而言，逆向思维是学生综合性思维形成的基础部分。在初中数学教学中培养学生逆向思维或者引导学生应用逆向思维，都是有利于促进学生思维发展的。

（二）有利于提高学生解题效率

数学思维也可以说是数学方法，其是为学习数学知识、解决数学问题以及生活实际问题而服务的。不断强调逆向思维，习惯性引导学生从正向、逆向两个维度思考同一问题，分析同一现象，解读同一事物本质，能够提高学生思维深度，让学生更全面地剖析问题，从而快速找到问题的突破口。不难发现，初中数学较小学数学难度大幅度提升，教材中也涉及了许多复杂的例题，如果僅按照常规解题思路思考，既浪费时间，还影响解题效率。相反，应用逆向思维则能避免这些问题，学生能够快速找到问题突破口，找到解题方法和技巧，从而提高解题效率。

三、 逆向思维及其在初中数学解题中的具体应用

诚然，逆向思维在初中数学教学中有着非常重要的现实意义，无论对学生的思维发展还是解题效率，都有积极作用。那么，到底如何才算得上逆向思维呢？在初中数学解题中我们又会具体应用到哪些逆向思维呢？笔者结合自身教学经验，总结了以下几方面内容。

（一）逆向思维一：顺推不行则逆推

逆向推导是逆向思维的直接体现，也是教师在初中数学教学和解题中非常常用的一种技巧。如果教师将一般探究问题的方法和思路称为顺向推理，那么与常规解题思路相反的思路就是逆向推理方法。在初中数学教学中，其实逆向推理和顺向推理是没有绝对而言的，也是没有绝对界限的，需要结合具体情境具体分析。初中数学中涉及的逆向推理主要包含了数学公式、数学定义、数学法则、数学定理等内容的逆向应用。

1. 数学公式的逆向推理

乘法公式的逆向应用是因式分解，如（x+y）2=x2+2xy+y2;以x，y的基本对称式，表示x，y的平方和、立方和（差）：x2+y2=（x+y）2-2xy，x3+y3=（x+y）3-3xy（x+y）。“互为相反数相加得零”这一法则的逆向应用：0=a+（-a）。在因式分解中折项、添项以及配方都常用这一逆向推导方法。当然，数学公式的逆向应用中我们必须要注意公式成立的前提，有些数学公式一逆推了，前提条件可能就失效了，这一点需要教师在引导学生应用逆向思维是注意。

2. 数学定义的逆向推理

数学定义可以反面叙述，既可以做定义，也可以做性质，这本身就是逆向思维的体现。例如方程解的定义：若m是方程ax2+bx+c=0的解，则am2+bm+c=0;将定义反过来也可以表示为：如果an2+bn+c=0，则n是方程ax2+bx+c=0的解，这就是定义和性质互反的推理体现。

3. 数学定理中的逆向推理

数学定理与数学公式不同，数学公式可以直接应用，但数学定理还需要先判断。比如一个定理的题设和结论不止一项是交换题设和结论，即形成一个逆命题，但逆命题有很多个，有真的，有假的。通常情况下，一个命题的题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理、分段式的定理，也有逆定理。

应用逆向推理方法解决数学问题时，通常就涉及上述反推法。通常情况下，笔者不主张学生拿到一道题即采用逆向推理法，而是在顺向推理有困难的时候才用逆向推理，两种思路灵活运用，才能提高解题效率。

例题1：|a|<|b|<1，求证：|a+b|<|1+ab|。

显然，正向思考，此题直接证明是有困难的，无论从左到右来证明，还是从右到左证明，难度都比较大。此时就可以启发学生应用逆向思维思考，采用逆推法，从结论倒推出应该有的不等式。由|a+b|<|1+ab|两边同时平方，然后分解因式，推导出不等式。

例题2：计算：3×5×17×257×……×（22n+1）。

本题直接计算有困难，可由通式22n+1，确定n的自然数值还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=a2-b2a-b，快速计算出答案。