一次函数与线段和的最小值

于秀坤

求解一次函数相关的线段和最小值问题时，同学们需要将轴对称、点的坐标与一次函数结合起来思考. 下面举例说明.

例1 如图1，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y = x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB + PA取最小值时，点P的坐标为 .

解析：利用三角形的三边关系可知PA + PB ≥ AB，

当点P在线段AB上时，PA + PB取最小值，此时PA + PB = AB，

由点A（0，1）、B（4，1）可知直线AB的解析式为y = 1，

再利用一次函数图象上点的坐标特征，

即可求出当PB + PA取最小值时点P的坐标为（1，1）. 故应填（1，1）.

例2 如图2，直线y = [12]x + 2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC + PD取最小值时点P的坐标为_______.

解析：根据题意可求得A（- 4，0），B（0，2），C（- 2，1），D（0，1），如图2，作点D（0，1）关于x轴的对称点E（0， - 1），连接CE交x轴于点P，则此时PC + PD取最小值.

设直线CE的解析式为y = kx + b（k ≠ 0），

将C（- 2，1）、E（0， - 1）代入解析式可得[-2k+b=1，b=-1，]得[k=-1，b=-1，]

∴直线CE的解析式为y = - x - 1.

当y = 0时， - x - 1 = 0，解得x = - 1，∴点P的坐标为（- 1，0）. 故应填（-1，0）.

例3 如图3，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（- 2，2），在x軸上取两点C，D（C在D左侧），且始终保持CD = 1，线段CD在x轴上平移，当AD + BC的值最小时，点C的坐标为 .

解析：把A（3，6）向左平移1个单位长度，可得A′（2，6），

作点B（- 2，2）关于x轴的对称点B′（- 2， - 2），连接B′A′交x轴于C，

设直线B′A′的解析式为y = kx + b，则[-2k+b=-2，2k+b=6，]解得[k=2，b=2，]

∴y = 2x + 2，∴C（ - 1，0）.

∵CD = 1，D（0，0），此时AD + BC取最小值.

故应填（ - 1，0）.

（作者单位：山东枣庄第28中学）