借助直观图形解决重叠问题

邱廷建

小朋友，我们知道解答求和问题时，只要直接把各部分数加起来，就可以得到答案。但是，计算部分有重复的时候，问题就不那么简单了，我们把这类问题称为重叠问题。在解答重叠问题时，我们可以借助直观图形，化抽象为直观，运用“包含与排除”原理，理清数量关系：当两个部分有重复包含时，应去掉重复部分，不重复计数，也就是要从它们的和中减去重复的数。

现在，我们一起来学习解决人教版教材三年级上册第九单元的有关重叠问题。

例1 新亭小学三（1）班共有学生38人，每人至少参加踢毽子和跳绳两项比赛中的其中一项。已知参加踢毽子的有25人，参加跳绳的有19人。求两项比赛都参加的学生有多少人？

[分析与解]根据题意，我们可以画出如图1所示的直观图。

从图1中我们可以看出，求两项比赛都参加的学生有多少人，就是求中间的重叠部分。把参加踢毽子比赛的25人加上参加跳绳比赛的19人，和是25+19=44（人），44人比全班总人数38人多，是因为重叠部分多算了一次，所以重叠部分，也就是两个项目比赛都参加的学生人数是44-38=6（人）。综合算式是25+19-38=6（人）。

从图1中我们还可以看出，用全班总人数38人减去参加踢毽子比赛的人数是38-25=13（人），这13人是只参加跳绳比赛而没有参加踢毽子比赛的学生人数。而参加跳绳比赛的有19人，说明这19人中有一部分既参加了跳绳比赛也参加了踢毽子比赛，从参加跳绳比赛的人数中减去只参加跳绳比赛的人数，剩下的就是两个项目比赛都参加的人数，算式是19-13=6（人）。……