几何问题函数解

王友峰

近年来，用函数来求解的几何动态试题频频出现.下面举例介绍这类试题的特点及解法.

例1（2020·河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，点D是弧BC上一动点，线段BC = 8 cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF[⫽]BD，交DA的延长线于点F，当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度.小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整：

（1）根据点D在弧BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值（单位：cm）.

操作中发现：①“当点D为弧[BC]的中点时，BD = 5.0 cm”，则上表中[a]的值是 ;

②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.

（2）将线段BD的长度作为自变量[x]，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系中画出了函数yFD的图象，如图2所示. 请在同一坐标系中画出函数yCD的图象.

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）.

解析：（1）①当D为弧BC中点时，CD = BD = 5.0 cm，∴a = 5.0;②证明CF = BD即可. （2）根据表格中的数据描点、连线得yCD的图象如图2.

（3）画出yCF的图象，对△DCF为等腰三角形的情况进行分类讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值.由（1）知CF = BD = x，画出yCF = x的函数图象，如图2所示，当△DCF为等腰三角形时，有三种情况：①CF = CD，BD为yCF与yCD函数图象的交点横坐标，即BD = 5.0 cm;②CF = FD，BD为yCF与yFD函数图象的交点横坐标，即BD = 6.3 cm;③CD = FD，BD为yCD与yFD函数图象的交点横坐标，即BD = 3.5 cm.

综上所述，当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值为3.5 cm或5.0 cm或6.3 cm.

点评：会用描点法画出函数图象、熟练掌握等腰三角形的分类、准确确定函数图象的交点坐标是解题的关键.

例2（2020·江苏·盐城）以下为一个合作学习小组在一次数学實验中的过程记录，请阅读后完成下方的问题.

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2[2]，在探究三边关系时，通过画图、测量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）

[AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC + BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 ]

（2）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC + BC的数据进行分析：设BC=x，AC + BC=y，以（x，y）为坐标，在如图3的坐标系中描点、连线.

（3）结合表中的数据以及所画的图象，猜想：当x= 时，y最大.

（4）进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2a（a为常数，a>0），则BC= 时，AC + BC最大.

（5）图4中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米. ∠E=∠EFG=∠G=90°. 平行光线从AB区域射入，∠BNE=60°，线段FM，FN为感光区域，求当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

解析：（3）观察图象知x=2.

（4）设BC=x，AC + BC=y，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，有y-x=[4a2-x2]，∴2x2-2xy + y2-4a2=0. ∵关于x的方程有实数根，∴y2 ≤ 8a2. ∵y>0，a>0，∴y ≤ 2[2]a，当y=2[2]a时，2x2-4[2]ax + 4a2=0，∴x1=x2=[2]a，∴当BC=[2]a时，AC + BC有最大值.

（5）如图4，延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，过点B作BK⊥GF于K，交AH于Q. 在Rt△BNE中，∠E=90°，∠BNE=60°，BE=1 cm，∴NE=[33] cm. ∵AM[⫽]BN，∴∠C=60°，∵∠GFE=90°，∴∠CMF=30°，∴∠AMG=30°. ∵∠G=90°，AG=1 cm，∴GM=[3] cm. ∵∠G=∠GFH=90°，∠AHF=90°，∴四边形AGFH为矩形，∴AH=FG.∵∠GFH=∠E=90°，∠BKF=90°，∴四边形BKFE是矩形，∴BK=FE.∵FN + FM=EF + FG-EN-GM=BK + AH-[33]-[3]=BQ + AQ + KQ+ QH-[433]=BQ + AQ + 2-[433]，在Rt△ABQ中，AB=4 cm，由问题（4）可知，当BQ=AQ=2[2] cm时，AQ + BQ的值最大，∴BQ=AQ=2[2]时，FN + FM的最大值为[42+2-433] cm.

点评：解题关键是正确画出函数图象，借助图象直观得到正确猜想并证明其正确性，再运用猜想解决实际问题.

（作者单位：江苏省苏州市苏州工业园区青剑湖学校）