函数与几何联姻的中考题

方震军

在函数背景中嵌入几何图形，将函数与几何联姻，形成新颖的综合题，是中考命题的一个热点.下面以2020年中考题为例，介绍这类问题的类型与解法.

一、一次函数与几何联姻

例1（2020·黑龙江·哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA=OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为[y=34x]，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM=9.

（1）如图1，求直线AB的解析式.

（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于點E.若NC=OM，求[PEOD]的值.

解析：（1）∵CM⊥y轴，OM = 9，∴点C纵坐标为9，∴C（12，9）.∵CA⊥x轴，∴A（12，0），∴OB = OA =12，则B（0，-12），可求得直线AB的解析式为y=x - 12.

（2） 由（1）可得∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC为矩形，∴MC=OA=12. ∵NC=OM，∴NC=9，∴MN=3，∴N（3，9），易求得直线ON的解析式为y=3x. ∵PD⊥x轴交OC于点E，设E点横坐标为4a，∴D（4a，0），E（4a，3a），∴DE=3a，P（4a，12a），∴PD=12a，∴PE=PD-ED=9a，∴[PEOD] = [94].

点评：本题以一次函数为背景，将矩形、直角三角形等嵌入其中，考查一次函数、矩形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟悉并灵活运用这些几何知识是解题的关键.

二、二次函数与几何联姻

例2（2020·青海）如图3，抛物线[y=-12x2+bx+c]经过B，D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积.

（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上. 要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标.

解析：（1）抛物线的解析式为[y=-12x2+x+32].

（2）∵[y=-12x2+x+32=-12（x-1）2+2]，∴点M的坐标为（1，2）. 令y = 0，解得[x1] [=-1]，[x2=3]，∴A（[-1]，0）;易知C [0，32]，∴OA = 1，OC = [32]，过点M作ME⊥AB于点E，如图4，∴[ME=2]，[OE=1]，[BE=2]，

∴[S四边形ABMC=12×1×32+12×32+2×1+12×2×2=34+74+] 2 [=92].

（3）根据题意，点Q在y轴上，则设点Q为（0，y），∵点P在抛物线上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，如图5，可分为三种情况：①AB为对角线时，则[P1Q1]为对角线.由平行四边形的性质，得点E为AB和[P1Q1]的中点，∵E为（1，0），点Q1为（0，y），∴点P1的横坐标为2，将[x=2]代入[y=-12x2+x+32]，得[y=32]，∴点[P1] [2，32];②当BQ2是对角线时，AP2也是对角线.∵点B（3，0），点Q2（0，y），∴BQ2中点的横坐标为[32]. ∵点A为（[-1]，0），∴点P2的横坐标为4，将[x=4]代入[y=-12x2+x+32]，得[y=-52]，∴点P2的坐标为[4，- 52];③当AQ3为对角线时，∵P3 Q3 = AB = 4，∴点P3的横坐标为[-4]，将[x=-4]代入[y=-12x2+x+32]，∴[y=-212]，∴点P3的坐标为[-4，-212] .

综上所述，点P的坐标为 [2，32]或[4，- 52]或[-4，-212].

点评：本题以二次函数为背景，将四边形和平行四边形嵌入其中，考查二次函数的性质，平行四边形的性质，一元二次方程、四边形面积的计算以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数和平行四边形的性质，注意运用分类讨论和数形结合的思想进行分析.

（作者单位：江苏省南通中学附属实验学校）