精讲·深剖·慎思

徐秋慧 周丽光 张志军

在辽宁省初中数学学科质量提升暨“聚焦学科课程育人关键问题”教研论坛上，本文作者从学生学习、教师教学、中考命题三个不同角度进行说题分享，引起与会教师的强烈共鸣。

[原题内涵]

一、数学技能

1. 求四边形周长最小值

先将边按常量、变量分类;再利用轴对称变换，将变化的边之和转化成可能共线的折线段之和;最后利用“两点之间线段最短”的原理得解.

2.求坐标平面内的三角形面积

如果三角形中有边在坐标轴上，或有边平行于坐标轴，那就以在轴上或平行于轴的边为底.

如果三角形的三边都不在坐标轴上，且都不平行于坐标轴，通常有两种选择：（1）过某顶点作坐标轴的平行线，进行“分割”或“补形”;（2）过某顶点作三角形的边的平行线，进行同底等高变换.

3. 确定点的坐标

首先，由于点到横、纵轴的距离分别等于点的纵、横坐标的绝对值，所以可由點向坐标轴作垂线段，再用几何方法求其长;

其次，由于点的坐标本质就是一个有序实数对，求点的坐标就是求一对实数，所以可先设点的坐标，再用数量关系列方程（组）求解;

此外，如果所求点恰好是两条函数图象的交点，还可将两个函数的解析式联立，通过解方程组进行求解.

二、数学经验

1. “是否存在”问题

（1）根据题意列方程（组），并求解：能求出符合条件的解，则存在;求不出解，或者求出的解不符合条件，则不存在.

（2）根据题意列不等式（组），求出未知量的取值范围：题中要求的情况在取值范围内，则存在;不在范围内，则不存在.

2. “坐标系内的斜线段的长”问题

已知三角形的高就作出高，是最自然不过的想法.但接下来的步骤对数形结合能力和几何思维要求较高，许多同学都会遇到瓶颈.其关键在于要将“高”这条斜线段的长转化为水平线段或铅垂线段的长，以便与点的坐标相结合.所以，常过已知点作坐标轴的垂线，结合“一线三垂直”模型得解.

3. “坐标系内的三角形的面积”问题

常用“割补法”或“同底等高转化法”.如果三角形的两个顶点已知，第三个顶点未知，则解题关键不在于选择“割”还是“补”，而是有两个窍门：

一是过未知点作y轴的平行线，与已知边所在直线相交.如本题（见第7期第20页，下同）中，过点P作y轴的平行线，与边OD所在的直线相交于H. 这样做，直线OD的解析式易知，点H的横坐标即点P的横坐标，于是将点H的横坐标代入OD的解析式即可. 因此，这种做法计算量小，解题更快.

二是过未知点作已知边的平行线，与y轴相交. 如本题中，过点P作OD边的平行线，交y轴于点M. 这样做，已知△ODM的面积和高，可求出底OM的长，就可直接得到直线PM的纵截距，再结合OD的斜率，直接可得直线PM的解析式.因此，这种做法计算更为简便，解题更快.

4. “动态”问题

数感好、几何直观能力强的同学通过观察图形的特殊位置，往往就能分析得出问题的答案. 因此，遇到动态的综合题不要放弃，一要通过准确作图、观察测量，去合理猜想，二要挖掘图中特殊的数量关系和位置关系，去分析推理.

[原题外延]

一、理性审视引拓展

原题问题（3）中提到点P在点D左侧的情形，即当点P在直线OD下方的抛物线上时是否可使△ODP 的面积为12，还可以求此时△ODP面积的最大值，再通过比较与12的大小得出结论.

之前，我们剖析了原题的一题多解，在这里，不妨将此问题拓展开来，审视其一题多变.

【问题原型】如图20，P在x轴下方的抛物线上，求△ODP的面积的最大值.

【问题变式一】

（1）如图21，P在x轴下方的抛物线上，PH⊥OD于H，求PH的最大值.

（2）如图22，P在x轴下方的抛物线上，PK[⫽]y轴，交OD于点K，求PK的最大值.

（3）如图23，P在x轴下方的抛物线上，PM[⫽]x轴，交OD于点M，求PM的最大值.

[x][O] [P][D（2，-6）][y] [H] [x][O] [P][D（2，-6）][y] [K] [x][O] [P][D（2，-6）][y][M]

图21                                     图22                                    图23

由于以上三问中△ODP的面积可分别由PH，PK，PM三条线段长来表示，且其最大值分别取决于这三条线段长的最大值，所以以上三个“线段长的最大值”问题都可以归结为“△ODP的面积的最大值”问题.

【问题变式二】

（4）如图24，P在x轴下方的抛物线上，PH⊥OD于H，PK[⫽]y轴，交OD于点K，求△PHK的周长的最大值.

（5）如图25，P在x轴下方的抛物线上，PK[⫽]y轴交OD于点K，PM[⫽]x轴交OD于点M，求△PKM的周长的最大值.

（6）如图26，P在x轴下方的抛物线上，PH⊥OD于H，PM[⫽]x轴交OD于点M，求△PHM的周长的最大值.

[x][O] [P][D（2，-6）][y] [H] [K] [x][O] [P][D（2，-6）][y] [M] [K] [x][O] [P][D（2，-6）][y] [H] [M]

圖24                            图25                              图26

由于以上三问中三角形周长可分别由问题变式一中的三条线段长来表示，且其最大值分别取决于这三条线段长的最大值，所以以上三个“三角形周长的最大值”问题也都可以归结为“△ODP的面积的最大值”问题.

二、大胆改编练创新

以原题中压轴的问题（4）为基础，改编如下.

改编一：将原题中的“平分矩形的面积”改为“将矩形面积分为1∶3两部分”.

改编说明：基于原问题的整体框架，不改变条件，也不改变对矩形面积问题的考查.但是，从“平分矩形的面积”这种特殊情形变为一般情形，而且从唯一情况变为两种情况，加强了对空间想象能力和分类讨论能力的考查，也使区分度略有提升.

编后解析：如图27、图28，抛物线平移的距离为2或4个单位长度.

[y][x][B][A（K）][D][L][C] [y][x][B][A][D][C][K] [O][O]

图27                          图28

改编二：矩形ABCD不动，抛物线向右平移t个单位长度，平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K，L，当K在AB上、L在CD上时，线段KL与线段AM交于点E，求四边形KEMB的面积S与t的函数关系式，并直接写出S的最小值.

改编说明：原问题虽然立意新颖，但整体思维难度不大. 所以，基于原问题的整体框架，不改变条件，但将考查“顶点确定的矩形的面积”问题改为“有顶点运动的不规则四边形的面积”问题，提升了原问题的思维难度，加强了对分析问题、解决问题能力的考查，也增加了区分度.

编后解析：如图29，四边形KEMB的面积等于△ABM与△AKE的面积的差.因为OK = t， 所以点K坐标为（t，0），又因为直线KL[⫽]OD，可求得KL的解析式为y = -3x + 3t.将KL的解析式与AM的解析式y = -x + 2联立，可得点E坐标[3t-22，6-3t2]，∴S△AEK = [12t-2×3t-62] = [34（t-2）2]. ∴S = S△ABM -S△AEK = 8 - [34（t-2）]2 =[ -34t2+3t+5]. 因为2 ≤ t ≤ 4，所以当t = 4时，S最小值为5.

改编三：矩形ABCD不动，抛物线向右平移t个单位长度，平移后的抛物线与矩形的边AD或AB交于点K，与BC或CD交于点L，在平移过程中，直线KL与直线AD所夹的锐角α也发生变化.试说明α随t变化而变化的情况，并简要说明理由.

改编说明：原题第（3）、（4）小题都是考查图形的面积，考点重复，于是，我们改变了视角，在不改变原题大背景条件的前提下，变“面积问题”为“角问题”.这种改编立意新颖，且具有一定的开放性.不仅对空间想象能力、几何作图能力和逻辑推理能力有所考查，还对数感、空间观念和几何直观等数学核心素养进行了考查.

编后解析：如图30、图31、图32，首先根据t的范围猜想出α的变化情况，再通过计算α的三角函数值，证明猜想.

如图30，当0 < t ≤ [2]时，抛物线解析式为y = [12（x-4-t）2-8]，令x = 2，得[12（-2-t）2] - 8 =[ t22] + 2t - 6，∴KA = [-t22] - 2t + 6，∴KD = AD - KA = [t22] + 2t，∴tan∠DKL = [DLKD ]= [tt22+2t] = [1t2+2=2t+4]. 显然，tan∠DKL随t的增大而减小，∴α随t的增大而减小.

如图31，当2 < t [≤4]时，KL[⫽]OD，∴α不变.

如图32，当4 < t[ ≤6]时，BK'= 6 - t. 令6 - t = m，则此时平移之后的抛物线为y = [12（x-10+m）2-8]. 令x = 6，y = [12]（-4+ m）2 - 8 = [m22] -4m.∴BL' = -[m22] + 4m，tan∠BL'K' = [m-m22+4m] = [1-m2+4] =[2-m+8=2t+2].显然，tan∠DKL随t的增大而减小，故α随t的增大而减小.

[y][x][B][A（K'）][D][L][C][K] [L'][O] [y][x][B][A（K'）][D][L][C] [L'] [K][O] [y][x][B][A][D][C（L）] [L'] [K][O][K']

图30                            图31                              图32