带棱角物体于斜面上静止释放瞬时将如何运动？1)

瞿立建 任晴晴

(防灾科技学院基础部，河北三河065201)

均质球或圆柱体沿斜面的运动，标准的教科书上都有很充分的讲述[1-3]。但是，带有棱角的物体沿斜面的运动，却甚少有讨论。然而，很多沿斜面运动的现象，比如沿斜面卸家具、人行走于斜坡之上、滑雪运动等，模型化为带棱角物体沿斜面的运动才更接近实际。很多人有这样的生活经验，沿斜面行走时，有时会脚向下滑动但身体向后倾倒，有时会身体向前倾倒但脚向上滑动，这些特点是均质球或圆柱沿斜面运动的模型不能预言出的。本文研究带棱角物体静止置于斜面上之后将做何运动，并厘清各运动形式发生的条件。

1 模型与理论推导

本文讨论带棱角物体一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动。如图1所示。设物体质量为m，物体质心标记为C，物体与斜面只有一个交点，设交点为A。物体受到支持力N、摩擦力f、重力mg，这里g为重力加速度。设AC连线与支持力N夹角为ϕ，并约定C位于A左侧时，ϕ>0，C位于A点右侧时，ϕ<0。斜面倾角为θ。建立坐标系xOy，x轴正方向沿斜面向下，y轴正方向垂直于斜面向上。物体如果发生转动，即倾倒，设顺时针转动，即物体向斜面下方倾倒，为转动正方向，反之，为转动负方向，物体向斜面上方倾倒。设AC长度为R，物体相对质心轴的转动惯量可写为IC=mkR2，k由物体具体质量分布而定，比如，对于质量均匀的立方体物体，k=1/3。设物体与斜面之间静摩擦系数为µs，动摩擦系数为µk。

图1 物体受力示意图

设A点沿斜面滑动的加速度为a，物体滚动角加速度为α，由图2易看出，物体质心加速度的x分量aCx和y分量aCy分别为

图2 物体滑动加速度a和转动加速度α示意图

假设物体和斜面都是刚性的，不发生形变，即不考虑滚动摩擦，物体动力学方程为

物体沿斜面滑动有三种情况：不滑动(a=0)；沿斜面向下滑动(a>0)；沿斜面向上滑动(a<0)。物体倾倒(即物体绕与斜面接触点转动)也有三种情况：不倾倒(α=0)；向下倾倒(α>0)；向上倾倒(α<0)。物体运动将是滑动和倾倒的组合，总共有九种可能的运动情况。不同的运动情况下，重力和支持力方向不会变化，而摩擦力则不然，摩擦力有三种情况：静摩擦力(方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下)；方向沿斜面向上的动摩擦力(物体向下滑动)；方向沿斜面向下的动摩擦力(物体向上滑动)。对此三种情况，下面分别进行讨论。每种情况下，对于滑块的形状和质量分布，又分ϕ≥0和ϕ<0两种情形。

1.1 摩擦力为静摩擦力

物体不滑动，a=0，代入式(4)，由式(3)∼式(5)，得

支持力N方向只能垂直斜面向上，即总有N≥0。摩擦……