扭转陀螺的动力学研究*

张雷明，寻之朋，张 伟

(1.中国矿业大学徐海学院，江苏 徐州221008;2.中国矿业大学 材料与物理学院，江苏 徐州221116)

2017年中国大学生物理学术竞赛[1-3]中，第12题是将轮子的轴固定到具有一定抗扭力的垂直线上，要求在扭转线和旋转轮子并释放后，对这个系统进行动力学研究。为此，我们制作了一个实验装置，如图1所示。如果静止时将轮子放开，轮子受到的重力相对于竖直旋转轴产生力矩，方向如图2所示，这个力矩使系统沿力矩方向产生角动量，将要求整个系统逆时针方向旋转，则轮子会侧翻[4-5]。如果把轮子转动后再放开，由于轮子已经有了一定的初始角动量，在力矩的作用下，轮子会以悬挂轮子的垂直线为轴扭转。本文主要对轮子围绕垂直线扭转时的动力学性质进行理论分析和实验研究。首先基于拉格朗日方程[6]从理论上推导轮子运动过程中进动角α所满足的变化关系，然后在不同实验条件下对进动角的变化进行实验测量，最后将实验结果和理论结果进行比较发现理论分析与实验相符合，从而得出有意义的结论。

图1 实验装置

图2 实验装置示意图

1 理论分析

在本部分，从理论上推导把轮子转动后放开以垂直线为轴扭转过程中进动角和章动角的变化关系。如图3所示，考虑绳子无扭转力的情况下，对轮子系统建立惯性坐标系Oxyz和固连坐标系Ox′y′z′和Ox″y″z″，并定义绕自转轴的转动惯量为Jx，绕赤道轴的转动惯量为J，列出系统的动能为[6]

图3 坐标系

将系统的拉格朗日方程对x、y、z轴分解，得