若干广义度量空间上的半连续函数的单调插入

胡星宇，金元峰，李坚兵

（1.广州工商学院 通识教育学院，广东 广州 510850；2.延边大学 数学系，吉林 延吉 133002）

近些年，一般拓扑空间上的函数插入问题受到了极大的关注，尤其是某些广义度量空间和函数插入的关系更是被广泛讨论，谢利红等［1-4］在这方面做了大量工作。金迎迎［5］讨论了K-MCM 空间、层空间、半层空间、K-半层空间上的半连续函数的单调插入。本文在文献［5］的基础上讨论MCM 空间、MCP空间、弱MCP 空间、完备空间、完备正规空间上的半连续函数的单调插入。

1 基本知识

关于拓扑空间的一些基础知识在文献［6］中都可以找到，此处省略。

定义1［7］设（X，μ）是拓扑空间，R 是赋予通常拓扑的实直线。f：X→R 是上半连续函数（下半连续函数)，若对每一a∈R 集合｛x∈X：f（x）＜r｝（或｛x∈X：f（x）＞r｝）是开集。

定义2［6］定义一个拓扑空间（X，μ），若对于X 的任意开覆盖均有一个有限的子覆盖，则称它为紧空间。

定义3［5］符号-∞和+∞被称作广义实数。令R*=R∪｛-∞，+∞｝，它同胚于［0，1］区间，那么R*被称作是广义实数集。它满足序关系，对于任意r∈R，-∞＜r＜+∞。映射f：X→R*被称作是广义实值函数。

定义4［5］设（X，μ）是拓扑空间，对于映射h：X→R*而言，如果存在正实数r 和一个X 的开领域U满足h（U）⊆（-r，r），那么h：X→R*被称作x 在R 上的局部有界映射，对于映射h：X→R*而言，定义Uh=｛x∈X：h 是x 在R 上的局部有界映射｝，很明显的是，Uh是X 上的开集。

定义5［5］如果（Fj）是拓扑空间（X，μ）中的递减闭集序列，那么我们可以定义映射：X→R*为已知在X∩j∈NFj中是上半连续并且是x在R 上的局部有界映射。那么对于每一个j∈N，给定任意两个递减的闭集序列（Fj）j∈N和（Ej）j∈N，如果Fj⊆Ej，那么

定义6［5］如果（Uj）j∈N是拓扑空间（X，μ）中的递减开集序列，那么可以定义函数：X→R*为