几种抛物方程形式的相位误差分析

蒲玉蓉 王丹丹 席晓莉 刘江凡

（1. 西安理工大学自动化与信息工程学院，西安 710048；2. 山东科技大学电子信息工程学院，青岛 266590）

引 言

近年来，抛物方程(parabolic equation，PE)方法作为一种有效的数值计算方法，被广泛地应用于电波传播[1-8]和水声传播[9-10]等领域. PE是根据波的单向传播过程，对亥姆赫兹方程作近轴近似得到的一种抛物型偏微分方程形式，因此不同的近轴近似方式就得到不同的PE形式. 尽管相较于亥姆赫兹方程，PE的求解更为方便，但由于近轴近似的引入，使得PE存在自身固有的相位误差[10]. 该固有相位误差会导致PE方法所模拟的电/声波波数与传播方向相关，呈现出空间各向异性特性. 通常，电/声波传播仰角越小，仿真波数与真实波数越接近，即表现为近轴传播特性[1]. 多年来，为了减小PE的固有相位误差，以增加PE的计算仰角范围，学者们提出了一系列的PE形式，从早期的标准PE(standard PE, SPE)[11]和Tappert型PE[12]到后来的Feit-Fleck型PE[13]、Claerbout型PE[14]、Greene型PE[15]和Lin-Duda型PE[16]. 1978年，Feit等人提出近似误差限的思想[13]，用于比较SPE和Feit-Fleck型PE的精度，并表明Feit-Fleck型PE的精度明显优于SPE. 1983年，Thomson等人采用该近似误差限方法评估了水下声波传播环境中SPE、Tappert型PE和Feit-Fleck型PE的精度[17]，进一步验证了Feit-Fleck型PE的优越性，并表明Tappert型PE并没有明显改善SPE的精度. 随后，Clearbout提出了一种更为严谨的色散分析方法[18]，用于研究水下声波传播环境中PE的精度，但是该方法并没有引起学者们的关注. 直到2020年，我们将该色散分析方法推广到起伏地形移位映像PE(shiftmap PE, SMPE)的相位误差分析中[19]，并得出与传统认知不同的结论，即Feit-Fleck型SMPE精度并非总是优于标准SMPE.