光谱自回归移动平均模型的贝叶斯分析方法

胡珍妮，常在斌，崔娟

（西安交通工程学院，陕西 西安 710300）

自回归移动平均模型(Autoregressive Moving Average，ARMA)的频谱估计被认为是一些应用领域中值得关注的话题，如工程、计量经济学等。不同的方法已经被研究，包括两个方面：最优方法（如最大似然估计）、基于尤尔-沃克方程的次优方法（使用线性方程对参数进行估计）。

ARMA过程的估计方法被广泛研究，特别是参数的单独估计[1-2]，其中文献[3-4]使用尤尔-沃克方程估计AR的过程参数，然后通过Durbin方法估计MA过程参数。在这些方法中，应用最广泛的是改进的尤尔-沃克方程(Modified Yule-Walker Equations,MYWE)和最小二乘法尤尔-沃克(Least Squares Yule-Walker,LSYW)方法，这些方法为ARMA频谱估计提供了相似的结果。

目前，贝叶斯推理已经成功地用于实际问题中。在贝叶斯推理中，未知参数被认为是一个随机变量[5]，因此假设与先验相关联的概率分布是从过去的数据或专家意见中指定的[6]。文中的主要目标是证明贝叶斯方法估计参数ARMA过程的可行性，通过比较ARMA模型参数的估计值和功率谱的估计值[7-8]，对经典估计方法和贝叶斯估计方法进行了比较。由简单的蒙特卡罗模拟MCMC算法得到了参数的平均估计值及其各自的标准偏差。

1 ARMA光谱模型

考虑阶数为(p,q)的ARMA平稳随机过程，由以下差分方程式定义：

其中，i=0,1,…,p;j=0,1,…,q是过程参数，εt是均值为零、方差为2的白噪声。因此，要估计的参数向量为：

系统函数在z平面上定义ARMA过程的功率谱密度为：

函数S(f)是自相关函数的傅里叶变换，估计频率有非负周期性，周期为1 Hz，频带限制在±0.5 Hz。

ARMA光谱估计的问题首先在于选择合适的模型，以便可以估计过程参数的向量，然后将估计值替换到光谱密度函数中。……