具有导函数的抽象函数不等式问题的求解策略*

福建省莆田第二中学 (351131) 谢新华

*福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题：学科素养视域下“读思达”教学法的数学课堂应用研究(项目编号：Fjjgzx20-077).

解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，常常需要设法建立起目标函数，确定变量的限制条件，再通过研究函数的单调性、最值等问题，使问题变得明了，所以解这类不等式的通法就是构造合适的函数.本文例举含导函数及其抽象函数不等式问题求解的一般策略.

类型一：f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型

例1 已知定义在R上的可导函数f(x)，对于任意实数x都有f(-x)=f(x)-2x成立，且当x∈(-∞,0]时，都有f′(x)<2x+1成立.若f(2m)-3m2

例2 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x),g′(x)为其导函数，当x<0时，f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)>0且g(-3)=0，则不等式f(x)·g(x)<0的解集是( ).

A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0,3)

C．(-∞,-3)∪(3,+∞)

D．(-∞,-3)∪(0,3)

解析：设F(x)=f(x)g(x)，当x<0时，F′(x)=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)>0，所以F(x)在(-∞,0)上为增函数，因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，所以F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)，即F(x)为R上的奇函数.所以F(x)在(0,+∞)上为增函数.又因为g(-3)=0，故有F(-3)=F(3)=0.所以x∈(-∞,-3)∪(0,3)时，f(x)·g(x)<0.故选D.

类型二：xf′(x)±nf(x)型

例3 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且3f(x)+xf′(x)>0恒成立，其中f′(x)是f(x)的导函数，若(m-2020)3f(m-2020)>f(1)，则实数m的取值范围是( ).

A．(2019,2020) B．(2019,2021)

C．(2019,+∞) D．(2021,+∞)

例4 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，f′(x)是导函数，且满足xf′(x)-2f(x)>0，若f(x)是偶函数，f(1)=1，则不等式f(x)>x2的解集为________________.

类型三：f′(x)±λf(x)型

例5 已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)+f′(x)>0，则a=2f(ln2)，b=ef(1)，c=f(0)的大小关系为________________.

解析：设g(x)=f(x)ex，则g′(x)=f′(x)ex+f(x)ex=ex[f′(x)+f(x)]，因为f(x)+f′(x)>0对于x∈R恒成立，所以g′(x)=ex[f′(x)+f(x)]>0，所以g(x)=f(x)ex在R上单调递增，a=2f(ln2)=eln2f(ln2)=g(ln2)，b=ef(1)=e1f(1)=g(1)，c=f(0)=e0f(0)=g(0)，因为0

例6 若函数y=f(x)的定义域为R，对于∀x∈R，f′(x)

A．(2,+∞) B．(0,+∞)

C．(-∞,0) D．(-∞,2)

类型四：sinx·f′(x)±cosx·f(x)或cosxf′(x)±sinx·f(x)型