Orlicz序列空间光滑点的一点注记

王静 崔云安

摘 要：給出在φ（u）/u→A（u→∞）情况下由一般的Orlicz函数生成的Orlicz序列空间光滑点的判别准则以及光滑点与很光滑点、强光滑点的等价条件，并在此基础上推出了该空间具有光滑性的充分必要条件，至此Orlicz序列空间光滑点判据得以解决。

关键词：Orlicz序列空间;光滑点;强（很）光滑点

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.022

中图分类号： O177.3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）03-0147-06

A Note on Smooth Points in Orlicz Sequence Spaces

WANG Jing， CUI Yun-an

（School of Science，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：In this paper， when φ（u）/u→A（u→∞） the criterion of smooth points in Orlicz sequence space generated by general Orlicz functions and the equivalence conditions of smooth points with very smooth points and strong smooth points are given. On this basis， the sufficient and necessary conditions for smooth points in Orlicz sequence space are derived， so that the criterion of smooth points in Orlicz space can be solved.

Keywords：Orlicz space;smooth points; strong （very） smooth points

0 引 言

众所周知，由N函数生成的Orlicz序列空间光滑点很早就被讨论了，而且获得了充分必要条件，但对φ（u）做了比较苛刻的限制，即φ（u）/u→A（u→∞）。本文将讨论在φ（u）/u→A（u→∞）情况下由一般的Orlicz函数生成的Orlicz序列空间光滑点的判据。

首先给出了在limu→∞φ（u）u=A<∞情况下光滑点判别准则以及光滑点与强光滑点和很光滑点的等价条件，并在此基础上推出该空间光滑的充要条件，至此Orlicz序列空间光滑点判据得以解决。

1 预备知识

称映射φ：R→（0，+∞）为Orlicz函数是指

Ⅰ φ是偶的连续的凸函数且φ（0）=0;

Ⅱ 当u≠0时φ（u）>0。

称函数Ψ（v）=sup{|u|v-φ（v）：v≥0}为φ（u）的余函数，函数Ψ（v）也是一个Orlicz函数。

用l0表示所有实数序列构成集合，对任意x={x（i）}∞i=1∈l0，，称

Iφ（x）=∑∞i=1φ（x（i））

是x关于Orlicz函数φ的模。线性集

lφ=x={x（i）}∞i=1：a>0，使Iφxa<+∞

分别赋Luxemburg范数

‖x‖=infk>0：Iφ（xk）≤1

和赋Orlicz范数

‖x‖oφ=sup{∑∞i=1|x（i）y（i）|，Iφ（y）≤1}

构成Orlicz序列空间，记为lφ=（lφ，‖·‖），l0φ=（lφ，‖·‖°）。

其子空间

hφ=x=（x（i））∞i=1：c>0，Iφ（xc）<∞

关于上面的两种范数也构成Orlicz序列空间，记为hφ=（hφ，‖·‖），l°φ=（hφ，‖·‖°）。

已证得‖x‖°=inf1k（1+Iφ（kx）），当且仅当k∈k（x）=[k*，k**]时范数可达，其中

k*=inf{k>0，IΨ（p（k|x|））≥1}

k**=sup{k>0，IΨ（p（k|x|））≤1}

有关Orlicz序列空间的更多知识参见文[1-4]。

当limu→∞φ（u）/u=A<∞时，p（u）→A，当u→∞此时可能有k（x）=即k*x=+∞。若k（x）=，则有

‖x‖°=inf1k（1+Iφ（kx））=limk→∞1k（1+Iφ（kx））

定义1[3] 设X是Banach空间，x∈X，若f∈X*满足‖f‖=1，〈f，x〉=‖x‖，则称f为x的支撑泛函，若x的支撑泛函唯一，称x是光滑点。即

Grad（x）={f∈X*：‖f‖=1，〈f，x〉=‖x‖=1}

含有唯一元。

定义2[3] 强（很）光滑点是指是x光滑点且

fnS（X*），fn（x）→1蕴含

‖fn-f‖→0（fn-fw0）

其中f为x的唯一支撑泛函。

定义3[3] 称Orlicz函数φ满足δ2条件（记为φ∈δ2）是指存在常数K>0及u0>0使得对任意的u∈R，|u|≤u0有

φ（2u）≤Kφ（u）

2 主要结果及证明

本文所用引理如下：

引理1[1] lφ=hφ（lφ°=hφ°）ψ∈δ2

引理2[1] （hφ）=lΨ°;（hφ°）=lΨ;F为奇异泛函且

（lφ）=lΨ°+F;（lφ°）=lΨ+F

引理3[1] 设φ∈δ2，u∈lφ有

i.‖u‖=1Iφ（u）=1;

ii.对于ε>0，δ>0，使得

‖u‖≥εIφ（u）≥δ。

引理4[5]

‖φ‖=sup{φ（x）：Iφ（x）<∞}=

sup{φ（x）：Iφ（x）<ε}

引理5[6] 对任意f∈（lφ）可唯一分解为f=v+其中v∈lΨ°，φ∈F，且

‖f‖°=‖v‖°+‖‖°

对任意f∈（lφ°）可唯一分解为f=v+其中v∈lΨ，∈F。

引理6[6] 记

ξφ（u）=infλ>0：Iφxλ<∞

则x∈lφ有

ξφ（u）=limn→∞‖x-[x]n‖=limn→∞‖x-[x]n‖°=

inf{‖x-y‖：y∈hφ}=inf{‖x-y‖°：y∈hφ°}

其中[x]n=（x（1），x（2），…，x（n），0，…）。

引理7[7] 若φ与Ψ是互余的N函数，则lφ°是光滑的充要条件φ∈δ2且q（v）在0，Ψ-112上严格单调递增。

引理8 若limu→∞φ（u）u=A<∞，令N（x）={i∈N：x（i）≠0}，且cardN（x）表示集合N（x）所含元素个数。若k（x）=则

cardN（x）≤1ψ（A）且‖x‖=A∑∞i=1|x（i）|。

证明：当limu→∞φ（u）u=A<∞时，p（u）→A

当u→∞由于k（x）=即k*x=+∞，则有

k>0，Iψ（p（kx））<1

从而当k→+∞，有

∑i∈N（x）ψ（A）≤1

ψ（A）cardN（x）≤1

cardN（x）≤1ψ（A）

此時

‖x‖°=limk→∞1k（1+Iφ（kx））=limk→∞1kIφ（kx）=

limk→∞Iφ（kx）+Iψ（p（kx））k=

limk→∞Iφ（kx）+Iψ（A）k=

limk→∞k|x（i）|Ak=

A∑∞i=1|x（i）|

综上所述

cardN（x）≤1Ψ（A）且‖x‖°=A∑∞i=1|x（i）|。

更多关于Orlicz空间的几何性质的研究结果请参见文[8-20]。

本文主要结果如下：

定理1 若limu→∞φ（u）u=A<∞，x∈lφ°且k（x）=。则v=Asignx为x的支撑泛函且若f在x点范数可达，则f=y，y（i）=A，i∈N（X）。

证明：因为

〈v，x〉=∑∞i=1Asignx（i）x（i）=

∑∞i=1A|x（i）|=A∑∞i=1|x（i）|=

‖x‖°

且Iψ（v）≤1从而‖v‖≤1，又

ψ（v）=sup{u|v|-φ（u）：u>0}=

sup|v|-φ（u）u：u>0

为此

Ψ（v）=0，|v|≤A

+∞，|v|>A

任取λ<1

IΨvλ=ΨvλcardN（x）=+∞

从而‖v‖≥1，为此‖v‖=1，所以v=Asignx为x的支撑泛函。

由于v，x保持同号，无碍于一般性，常设x（i）≥0，i=1，2，…

对于任意f=y+∈Grad（x），由于

1=f（x）=∑i∈N（x）y（i）x（i）+（x）=

∑i∈N（x）y（i）x（i）=∑i∈N（x）Ax（i）

从而

∑i∈N（x）（A-y（i））x（i）=0

记y0=maxi∈N（x）y（i），若y0>A，则ψ（v）=+∞，此时‖f‖>1与f∈Grad（x）矛盾，从而y0≤A，又

∑i∈N（x）（A-y（i））x（i）=0

所以当i∈N（x）有y（i）=A。

由于

limn→∞‖x-（x（1），x（2），…，x（n），0，…）‖°

≤limn→∞A∑i>nx（i）=0

从而x∈hφ°，所以=0，即f=y。

定理2 若limu→∞φ（u）u=A<∞，f∈（lφ°），f=v+则

‖f‖=infλ>0：IΨyλ+‖‖λ≤1

证明;无碍于一般性，设‖f‖=1，任取IΨyλ+‖‖λ≤1的λ>0及‖x‖=1。

若‖x‖°=1k（1+Iφ（x）），k∈k（x），则有

f（x）=〈x，y〉+（x）=

λ1k〈kx，yλ〉+（kx）kλ≤

λkIφ（kx）+IΨyλ+‖‖λ≤

λk（Iφ（kx）+1）=λ

若‖x‖°=A∑∞i=1|x（i）|，k（x）=，由于

limn→∞‖x-（x（1），x（2），…，x（n），0，…）‖°

≤limn→∞A∑i>nx（i）=0

从而x∈hφ°，于是对满足IΨyλ+‖‖λ的λ>0有

f（x）=λ〈x，yλ〉=λ∑ix（i）y（i）λ≤

λ∑iAx（i）=λ

由x的任意性有‖f‖≤λ。

由λ的任意性得

‖f‖≤infλ>0：IΨyλ+‖‖λ≤1。

如果等号不真，则

infλ>0：IΨyλ+‖‖λ≤1>‖f‖=1

故

IΨ（y）+‖‖>1+δ>1

由引理4有，取z∈l°，IΨ（z）≤δ2满足

Iφ（y）+（z）>1+δ

又可取i0和

v∈lψ：|v（i）|<|y（i）|≤A（1≤i≤i0）

v（i）=0（i>i0）

使

IΨ（y）+（z）>1+δ>1

由Young不等式

〈v，x〉=∑i0i=1（|v（i）|·q（|v（i）|））-φ（q（|v（i）|））+φ（z）>1+δ

设

x（i）=q（|v（i）|）（i≤n）

z（i）（i>n）

则

1=‖f‖=‖y+‖≥‖u+‖≥

（u+）x‖x‖°=

1‖x‖°[〈x，u〉+（x）]=

1‖x‖°∑i0i=1|v（i）|q（|v（i）|）+（z）≥

1‖x‖°1+δ+∑i0i=1φ（q（|v（i）|））=

1‖x‖°1+δ+Iφ（x）-∑i>i0φ（z（i））=

1‖x‖°1+Iφ（x）+δ-δ2≥

1‖x‖°‖x‖°+δ2=1+δ2‖x‖°=1+δ2

矛盾。

定理3 设f∈lφ，f=v+，v∈lΨ°，∈F若k（v）=且≠0，则f在lφ的单位球面不可达。

证明：若不真，则x={x（i）}∞i=1∈lφ有

‖f‖°=f（x）=〈v，x〉+（x）≤

‖v‖°+‖‖=‖f‖°

从而有

〈v，x〉=‖v‖°，（x）=‖‖

由于k（v）=可推出N（v）为有限集，设v={v（1），v（2），…，v（m），0，0，…}，

取

xm={x（1），x（2），…，x（m），0，0，…}

则

‖v‖°=〈v，x〉=〈v，xm〉≤‖v‖°‖xm‖

从而有

‖xm‖≥1，Iφ（xm）≥1

又Iφ（xm）≤Iφ（x）≤1，则有

Iφ（xm）=Iφ（x）=1，∑∞i=m（x（i））=0

则

x∈hφ与≠0矛盾。

定理4 若limu→∞φ（u）u=A<∞，x∈lφ°且k（x）=。则x∈S（lφ°）是光滑点的充分必要条件是∑i∈N（x）ψ（A）=1。

证明：必要性，若不真，则有

∑i∈N（x）ψ（A）<1

令i0N（x），取y=signx（i），由定理1知y∈Gradx。取c>0，使

∑i∈N（x）ψ（A）+ψ（c）≤1

令

y-：y（i）=A（i∈N（x））

y（i）=c（i=i0）

y（i）=0（其余）

由于

Iψ（y-）≤1及〈x，y-〉=〈x，y〉=1，

知y-∈Gradx矛盾，从而∑i∈N（x）ψ（A）=1。

充分性，由定理1知y：y（i）=A（i∈N（x））。

由于

∑i∈N（x）ψ（A）=1，

则

∑i∈N（x）ψ（y（i））=0，=0

即

f：y=signx（i），=0

唯一确定，从而x∈S（lφ°）是光滑點。

推论1 若limu→∞φ（u）u=A<∞，则lφ°光滑当且仅当

i）Ψ（A）≥1;

ii）φ∈δ2;

iii）q（v）在0，Ψ-112上严格调调递增。

证明：必要性，假设Ψ（A）<1，取lφ°且cardN（x）=1，由定理4可知x不是光滑点，与lφ°光滑矛盾，从而Ψ（A）≥1。

则x∈lφ°都有

∑i∈N（X）Ψ（A）≥1

由引理7及8可推出ii），iii）成立。

充分性，x∈lφ°若k（x）=，由引理8可知

cardN（X）≤1Ψ（A）≤1

即cardN（x）=1，

当Ψ（A）=1由定理4可知x是光滑点。

当Ψ（A）>1由引理8可知k（x）≠

再由引理7可知x是光滑点，从而有lφ°光滑。

定理5 若limu→∞φ（u）u=A<∞，x∈lφ°且k（x）=。则对于x∈S（lφ°），以下说法等价

i）x是强光滑点;

ii）x是很光滑点;

iii）x是光滑点且ψ∈δ2。

证明：i）ii）x是光滑点均为显然。假设ψ∈δ2，由于x是光滑点，由定理3，x的唯一支撑泛函为y∈S（lψ）。

若ξψ（y）≠0，取z=0，若ξψ（y）=0，取z∈S（lψ），ξψ（z）≠0，于是总有ξψ（y-z）≠0，令

y=（y（1），y（2），…y（n），z（n+1），z（n+2），…），（n=1，2…）

则

Iψ（yn）≤Iψ（y）+∑i>nψ（z（i））→Iψ（y）≤1

故

lim supn→∞‖yn‖≤1

又

〈x，yn〉=∑ni=1x（i）y（i）+∑i>nx（i）z（i）→

∑∞i=1x（i）y（i）=‖x‖°=1

故

lim supn→∞‖yn‖≥1

即

lim supn→∞‖yn‖=1且〈x，yn〉→1

取lψ上奇异泛函

，（y-z）=ξψ（y-z）

这样一来

limn→∞（y-yn）=

limn→∞（y-z）=

ξψ（y-z）≠0

与x是很光滑点矛盾。

iii）i）

‖x‖°=A∑∞i=1x（i），∑i∈N（x）ψ（A）=1

此时N（x）为有限集。

则由定理4有，x的唯一支撑泛函为

f=y=signx（i），

设‖fn‖=1，fn=yn+n，fn（x）→1

由

1=A∑ix（i）←fn（x）=∑ix（i）yn（i）+n（x）=

∑i∈N（x）x（i）yn（i）

及yn（i）≤A可知

yn（i）→A（i∈N（x））

再由定理2有

1=limn→∞fn（x）≥limn→∞（Iψ（yn）+‖n‖）≥

limn→∞∑i∈N（x）ψ（yn（i））+‖n‖=

∑i∈N（x）ψ（A）+limn→∞‖n‖=1+limn→∞‖n‖

得到‖n‖→0和∑i∈N（x）ψ（yn（i））→0

由x是光滑点知

yn（i）→0=y（i），（iN（x））

即yn（i）→y（i）对一切i成立。

令i0=cardN（x），ε>0，0<δ<ε3

有

∑∞i=i0+1y（i）<ε3，∑i0i=1（y（i）-yn（i））<ε3

又由ψ∈δ2，y∈S（lψ）可知

Iψ（y）=1

且

∑i0i=1ψ（y（i））=1-∑∞i=i0+1ψ（y（i））>1-δ

由于yn（i）c→y（i）对一切i成立，则n0∈N，使得当n>n0有

∑i0i=1ψ（yn（i））≥1-δ

1=Iψ（yn）=∑i0i=1ψ（yn（i））+∑∞i=i0+1ψ（yn（i））≥

1-δ+∑∞i=i0+1ψ（yn（i））

因此

∑∞i=i0+1ψ（yn（i））<δ

又ψ∈δ2从而有

∑∞i=i0+1yn（i）<ε3

则

‖yn-y‖=∑i0i=1（y（i）-yn（i））+∑∞i=i0+1yn（i）<ε

于是有

‖fn-y‖≤‖yn-y‖+‖n‖→0

推論2 若limu→∞φ（u）u=A<∞，则以下说法等价

i）lφ°强光滑;

ii）lφ°很光滑;

iii）lφ°光滑且Ψ∈δ2。

参 考 文 献：

[1] 吴从炘， 王廷辅， 陈述涛， 等.Orlicz空间几何理论[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1986.

[2] 陈述涛. Orlicz空间的光滑点[J]. 哈尔滨师范大学自然科学学报， 1989（1）：1.

CHEN Shutao. Smooth Points in Orlicz Spaces[J]. Journal of Natural Science， Harbin Normal University， 1989 （1）： 1.

[3] 李小彦， 崔云安. 特殊Orlicz函数空间的光滑点[J]. 哈尔滨商业大学学报（自然科学版）， 2010， 26（4）.

LI Xiaoyan， CUI Yunan. Smooth Points of Special Orlicz Function Spaces[J]. Journal of Harbin Commercial University， 2010， 26 （4）.

[4] 崔云安. Banach空间几何理论及应用[M].北京：科学出版社， 2011.

[5] 陶良德. Orlicz序列空间的光滑性[J]. 哈尔滨师范大学自然科学学报， 1988（1）：13.

TAO Liangde. Smoothness of Orlicz Sequence Spaces[J]. Journal of Natural Science， Harbin Normal University， 1988 （1）： 13.

[6] 王保祥， 张云峰. Orlicz序列空间的光滑点[J]. 哈尔滨师范大学自然科学学报， 1991（3）：18.

WANG Baoxiang， ZHANG Yunfeng. Smooth Points of Orlicz Sequence Spaces[J]. Journal of Natural Science， Harbin Normal University， 1991 （3）： 18.

[7] SHI Z， WANG T. On the Smoothness of Orlicz Sequence Spaces Equipped with Orlicz Norm[J]. Collectanea Mathematica，1996.

[8] 左明霞， 刘红娇. 赋Orlicz范数的Musielak Orlicz序列空间的 k β点[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2019（1）：118.

ZUO Mingxia， LIU Hongjiao. K β Points of Musielak Orlicz Sequence Spaces with Orlicz Norm[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2019 （1）： 118.

[9] 贾静， 王俊明. 赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz空间的强端点[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2018， 23（5）：128.

JIA Jing， WANG Junming. Strong Endpoint of Musielak Orlicz Spaces with P-amemiya Norm[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2018， 23（5）： 128.

[10]左明霞， 彭丽娜. Orlicz 序列空间的（ k） 性质[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2017（6）：122.

ZUO Mingxia， PENG Lina. The （k） Property of Orlicz Sequence Spaces[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2017 （6）： 122.

[11]崔云安， 郭晶晶. 与不动点性质相关的新常数[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2016， 21（2）：122.

CUI Yunan， GUO Jingjing. New Constants Related to Fixed Point Properties[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2016， 21（2）： 122.

[12]李小彦， 崔云安. 赋p-Amemiya范数Orlicz空间的对偶空间[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2011（1）：113.

LI Xiaoyan， CUI Yunan.Dual Spaces of Orlicz Spaces with P-amemiya Norm[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2011 （1）： 113.

[13]刘艳丽， 崔云安， 李小彦. Orlicz空间有关Δ_2—条件的注记[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2010（1）：95.

LIU Yanli， CUI Yunan， LI Xiaoyan. Orlicz Space Related Δ_2 Condition[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2010 （1）： 95.

[14]左占飞， 崔云安. 一类自反Orlicz空间中常数的计算[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2009，14（4）.

ZUO Zhanfei， CUI Yunan. Calculation of Constants in a Reflexive Orlicz Space[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2009， 14 （4）.

[15]王稀. Orlicz空间的广义Garcia-Falset系数[D]. 哈尔滨理工大学， 2012.

[16]石忠锐， 翟佳羽. 赋Luxemburg范数的广义Orlicz函数空间中的λ点和λ性质（英文）[J]. 华东师范大学学报（自然科学版）， 2012（1）：69.

SHI Zhongrui， ZHAI Jiayu. λ Point and λ Property in Generalized Orlicz Spaces with Luxemburg Norm[J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2012（1）：69.

[17]MUSIELAK J. Orlicz Spaces and Modular Spaces[J]. 1983， 1034（4）：1.

[18]W Kurc. Strictly and Uniformly Monotone Musielak-Orlicz Spaces and Applications to Best Approximation[J]. Journal of Approximation Theory， 1992， 69（2）：173.

[19]BINOD Chandra Tripathy， BIPUL Sarma. Some Double Sequence Spaces of Fuzzy Numbers Defined by Orlicz Functions[J]. Acta Mathematica Scientia（English Series）（1）：137.

[20]ROMESH Kumar. Composition Operators on Orlicz Spaces[J]. Integral Equations & Operator Theory，1997，29（1）：17.

（編辑：温泽宇）