非完备b-度量空间上四个非连续映射具有唯一公共不动点的定理*

朴勇杰

延边大学理学院数学系，吉林延吉 133002

Czerwik[1]于1993 年引入了b-度量空间，即度量型空间的概念并在完备的b-度量空间框架下推广了Banach 压缩原理（Banach 不动点定理）。之后，一些研究者在b-度量空间上讨论并得到了满足各种形式的映射的唯一不动点定理［2-10］。2014年，Roshan等[11]在b-度量空间上给出了若干个满足广义压缩条件的4个映射的唯一公共不动点定理，此处b-度量未必是连续的。文献［11］中的广义压缩条件是Ćirić[12]型压缩条件及Hardy-Rogers[13]型压缩条件的推广形式，其结果大大地推广和改进了许多（公共）不动点定理。

在本文，通过除去自映射的连续性，用弱相容代替相容并利用一类新的隐式压缩条件而不是Ćirić型及Hardy-Rogers型压缩，在非完备的b-度量空间上给出文献［11］中的相应结果并举一个实例支撑主要结果。同时，我们在相同的空间上给出具有一类线性压缩条件的4个映射的公共不动点定理。

1 基本知识

给出本文中需要的若干定义及相关结果。

定义1[1]设X是非空集合，k≥1 是给定实数。称函数d：X×X→R+为一个b-度量，如果对任何x，y，z∈X，下列条件成立

（b1）d(x，y) = 0 ⇔x=y；

（b2）d(x，y) =d(y，x)；

（b3）d(x，z) ≤k[ ]

d(x，y) +d(y，z) .

称(X，d)为具有k≥1的b-度量空间。b-度量空间类明显大于通常的度量空间类，事实上，b-度量是通常度量当且仅当k= 1.

例1[14]设X={x1，x2，x3，x4}且d(x1，x2)=k≥2，d(x1，x3)=d(x1，x4)=d(x2，x3)=d(x2，x4)=d(x3，x4)=1，d(xi，xj)=d(xj，xi)(对所有i，j= 1，2，3，4)及d(xi，xi)= 0(对所有i= 1，2，3，4). 则d是具有k2 的b-度量空间，但不是通常度量空间，这是因为当k> 2时d(x1，x2)>d(x1，x3)+d(x3，x2).

例2[14]设X= R为实数集合。令d(x，y) =(x-y)2（对所有x，y∈X），则d是具有k= 2的b-度量空间，但不是通常度量，这是因为d(-1，1) = 4 > 2 =d(-1，0) +d(0，1).

定义2[1，11，14]设(X，d)是具有k≥1的b-度量空间，{xn}为X中的序列.

（b） 称{xn}为柯西的是指当n，m→∞时d(xn，xm) →0.

（c）b-度量空间(X，d)是完备的是指X中的每个柯西序列都收敛。