求解复对称线性系统的一类加速GSSOR迭代法

邹乐乐

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

讨论复对称线性系统：

这一类的复对称线性系统问题可以看作是鞍点问题的特例，这类系统主要用于解决科学计算和工程应用领域的问题，例如分子散射、结构动力学和分布控制等问题[1-3].

本文由三部分组成，第一部分描述了加速广义对称逐次超松弛（简称AGSSOR）迭代法，并对其进行了收敛性分析；第二部分对AGSSOR 迭代法进行预处理，在一定条件下，PAGSSOR（预处理AGSSOR）迭代法的谱半径要比AGSSOR 迭代法的小；第三部分通过数值实验验证了PAGSSOR 迭代法的有效性.

1 AGSSOR 迭代法及其收敛性分析

文献[4]中提出的加速广义逐次超松弛（AGSOR）迭代法，主要用来求解实对称线性系统（2）基于以下的过程.

综上所述，定理2 得证.

从定理2 中，我们发现AGSSOR 迭代矩阵的极小化谱半径和文献[4]中AGSOR 迭代的一样，但是对于AGSOR 迭代法来说，最优参数只有单一的选择，然而AGSSOR 迭代法中最优参数却有两种选择，因此在实际应用中AGSSOR 迭代法更易于实现.

2 预处理AGSSOR 迭代法

对线性系统（2）进行预处理：

3 数值实验

数值实验选择右端向量b=(1+i)x*，其中x∗是每个元素均为1 的n维列向量.在实验中，令σ1=1，σ2=100，并在不等式两边同时乘以h2正规化系数矩阵和右端向量.数值实验结果见表1.

表1 m 取不同值时，AGSOR、AGSSOR 和PAGSSOR 的数值实验结果

通过m的不同取值，得到了不同大小的系数矩阵.通过比较表1 中AGSOR、AGSSOR 和PAGSSOR的CPU和IT 发现，PAGSSOR迭代所需要的迭代步子和时间比AGSSOR迭代和AGSOR迭代所需要的都要少，因此可以说明PAGSSOR 迭代法更有效.