深入导数本源，浅出抽象答案

邹晓松

[摘  要] 导数是高中数学判断函数单调性的有力工具. 归其本源，抽象函数的导数也掩藏不住其单调性的实质，如Af′（x）+B的不等式关系就体现了某个函数的单调性本源. 深入导数的本源便可以简化“构造”过程，特别是解决选填题目时可以让答案浅显易出.

[关键词] 导数本源;抽象函数;一叶知秋法;构造法

利用导数来判断抽象函数的单调性是历年高考的热点，也是难点. 通常采用“构造法”来解決此类问题，构造法的“构造”过程复杂易错，“构造”的结果也不能保证恰到好处. 在深入导数的本源后不难发现，与导数有关的不等式无非体现了某个函数的单调性，能否避免“构造法”繁杂易错的构造过程，不必去刻意追究这个函数具体样子呢？在此思想的驱使下，笔者探索出一种针对选填题时的有效方法，取名：一叶知秋法.

纵观历年此类试题，给题形式大致一样，其本质如下：

1. 给出Af′（x）+B的不等式关系. （实质是为了能构造新函数）

2. 需判定f（x）与f（x）中括号内的大小关系.

首先我们先来总结一下常见函数的导数形式.

[?]对函数求导

1. 求导后含“+”号

g（x）=xf（x）?g′（x）=f（x）+xf′（x）

g（x）=xnf（x）?g′（x）=nxn-1f（x）+xnf′（x）

g（x）=exf（x）?g′（x）=exf（x）+exf′（x）

g（x）=enxf（x）?g′（x）=nenxf（x）+enxf′（x）

g（x）=f（x）sinx?g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx

g（x）=?g′（x）=

2.求导后含“-”号

g（x）=?g′（x）=

g（x）=?g′（x）=

g（x）=?g′（x）=

g（x）=?g′（x）=

g（x）=?g′（x）=

g（x）=f（x）cosx?g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx

[?]构造函数归类

xf′（x）+f（x）?g（x）=xf（x）

f′（x）+f（x）?g（x）=exf（x）

f′（x）+nf（x）?g（x）=enxf（x）

xf′（x）+nf（x）?g（x）=xnf（x）

xf′（x）-f（x）?g（x）=

f′（x）-f（x）?g（x）=

f′（x）-nf（x）?g（x）=

xf′（x）-nf（x）?g（x）=

概括为Af′（x）+B的形式，构造函数g（x）：

显然由Af′（x）+B>0?g（x）递增，若x>x，则g（x）>g（x）;若xx，则g（x）g（x）.

针对选填题时，我们无须构造出具体的函数，而是“心中有物，未有其形”，但有其性即可. 常见形式分如下两种.

（一）没有给出f（x）=a这一条件

例1：若函数f（x）满足f（x）+f′（x）>0，则有（ ）

A. ef（2）

B. ef（2）=f（1）

C. ef（2）>f（1）

D. 无法确定ef（2）与f（1）的大小关系

解析：因为f（x）+f′（x）>0，即对应的函数g（x）递增，又因为2>1，所以ef（2）>f（1），选C.

例2：（2020安徽模拟考）若函数f（x）的导数为f′（x），……