促进学生认知发展的教材开发与重构

摘  要：遵循学生认知规律，对教材中“基本不等式”的问题情境、典型素材、研究方法等进行开发与重构，旨在帮助学生整体理解数学知识本质，促进学生认知发展.

关键词：基本不等式;认知发展;教材开发;教材重构

无论哪个版本的教材都有其教学对象的适应性，教师在研析《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）和教材的同时，应深入了解学生的实际需要、能力水平和思维习惯等，创造性使用教材，促进学生全面、主动地建构知识体系. 具体而言，教师应基于《标准》，充分以学生的现有水平和实际需求为出发点，选取适合他们的学习材料，对这些材料进行加工、处理、整合，使教学内容成为适合学生学情的素材. 其目的是将数学的学术形态转化为数学的学习形态，将教材的编写结构转化为学习结构，实现教学活动的最优化.

“基本不等式”是高中数学不等式部分的核心内容，《标准》将其编于“预备知识”这一主题中. 本文以此内容为研究对象，以苏教版《普通高中教科书·数学》的内容为素材，谈谈基于学生认知发展的学材重构的浅薄思考，敬请指正.

一、情境设置：应基于学生认知起点进行考量

《标准》明确指出，要创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质. 合理的问题情境使学生置身于简洁明了、指向清楚的认知任务中，能有效激发学生的求知欲和学习心向. 反之，远离学生认知起点的问题情境则不能揭示知识本质，而且会加重学生的表征负担和认知障碍. 例如，用不等臂天平称物的情境引入几何平均数和算术平均数，旨在从实际情境中抽象出数学对象，有利于培养学生的数学建模能力. 但是在实际教学中，部分学生不能充分调动已有认知进行建模活动，也想不到运用杠杆原理处理问题，这样就拉长了数学对象出现的时间，冲淡了情境的教学功能.

情境的创设应具有能揭示知识本质的导向功能，能引发学生有效建构知识并提供具体而准确的现实原型，实现引领学生进入知识内部的逻辑形式和意义领域. 为此，在创新使用教材的理念下，我们可以淡化两个平均数的发现过程，以公理化的视角从数学内部引入新知. 从实数的非负性或重要不等式[a2+b2≥2ab]引入基本不等式. 这样引入的逻辑起点符合学生的认知起点，学习对象指向精确，减少了因理解情境和表征对象导致的认知负荷，将学习的重心落在如何理性认识并深度认识基本不等式这一核心目标上. 因此，可以设置如下情境.

这样设计的意图是基于知识之源，突出知识的生长性. 首先，“基本事实”是基本不等式的根，从学生已有认知结构中的“本源”出发进行上位组织，新知识在“基本事实”引领下的生成具有生长性，这种生长性体现在还可以将“基本事实”中的[x]赋成其他对象得到新的恒成立不等式. 其次，对衍生出的恒成立不等式也有多元的操作方式，如还可以用[m=1a，n=][1b]进行代换得到[21a+1b≤ab]. 也可以在其两边同时加上一些项，如同时加上[m2+n2]，得[2m2+n2≥m+n2].这恰好是最简单的二维柯西不等式形式. 由此可见，这样的情境设置体现了“基本不等式”中“基本”的内核所在，即根本的、本源的属性.

当然，情境重构的前提应是基于学生的认知水平和学习需求，并且要以学生的认知发展为目标. 脱离学生认知起点和需求的重构行为是毫无意义的.

二、几何解释：要遵循学生的认知规律和认知方式

教学中，在提出问题“两个正数[a，b]的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系”后，直接引导学生以几何的视角对其进行验证猜想，并尝试作出长度为[ab]和[a+b2]的两条线段. 实际上，如果没有教师的引导，学生在同一个图形（如图1，其中AC = a，BC = b）中作出这样的几何对象是非常困难的.

从整个认知的路线看，这里也略显突兀：从情境中抽象出对象[ab]和[a+b2]，再通过数值验证两者的大小关系，至此的认知活动以“推理—演算”为主要方式，正当学生初步形成建立两者关系的“感觉”时让学生切换认知方式，从另一个认知视角（即几何）来验证正处于“模糊”状态下的认知对象. 一方面，会导致学生在认知方式的转频上产生间歇性困难，学生可能会出现思维上的断层;另一方面，根据概念二重性理论，一个概念的形成要从过程开始，然后转变为对对象的认知过程. 显然，之前的代数值验证活动是概念认知的过程阶段，此时的认知更多是感性的，而之后的“作图验证”属于几何表征，是在获得结论（即[a+b2≥ab]）的基础之上进行的概念认知的对象阶段，很明显这个过程中出现了认知方式上的混乱，不利于概念的理性建构.

笔者认为，本节课的认知路线应该是“不等式的发现—不等式的证明—不等式的欣赏”，遵循从感性认识到理性认识再到深度认识的逐步认知数学对象的原则. 基于此，建议将素材的顺序调整为：发现[a+b2≥][ab]—代入数值进一步验证—运用不同的方法进行证明—从其他角度（几何、函数等）进行欣赏，促使学生形成深度理解.

这样的调整是将几何表征作为概念建构后进行数学欣赏的一个视角，具有可操作性，并且这样的設计也有可生长性. 例如，在后面学习了初等函数后，可借助初等函数的性质来帮助学生进一步理解基本不等式的本质属性. 实际上，在学习了幂函数、指数函数、对数函数后，教材中都设置了“比较[fx1+fx22]与[fx1+x22]的大小关系”的题目. 这样的设计既是基于对知识整体认知的考虑，也为再度理解基本不等式的本质提供了新视角.

三、证法选择：从单元学习的视角进行整体认知

布鲁纳说过，无论我们选教什么学科，都务必使学生理解学科的基本结构. 从整个学习单元来看，实数大小关系的基本事实是解决等式、不等式问题的逻辑基础. 通过类比等式的性质获得不等式的性质，并以此进一步研究基本不等式等是本章的学习主线. 因此，研究基本不等式的认知起点应是实数的大小关系. 笔者认为，作差法应该是证明基本不等式的首选方法，这样的选择体现了单元教学的逻辑性，突出了知识的生成是之前认知的延续与生长.

分析法的核心是从证明的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件. 在前一章中学生已经学习了命题和充要条件，能够认识到进行证明的逻辑依赖于命题的充要性，而实施分析法的充要性就是以本章上一节中的不等式的性质为逻辑依据，分析法实际上是在不等式性质的基础上进行的推理展示. 尽管这样的逆向思维是学生之前认知结构中所没有的，但是它是基于已有认知的逻辑存在. 因此，分析法是符合学生认知整体性和逻辑性的.

综合法的证明过程实际上是前文所述的基于基本事实的演绎过程，即从[∀x∈R]，[x2≥0]出发，取[x=][a-b]进行的变形，通过分析，认为将其视为发现对象的途径比其作为证明方法的教学功能更丰富.

通过以上分析可知，方法的选择要充分考虑方法在学生认知系统中的整体性，并且还要考虑选择的方法对学生解决相关问题的思维方式形成方面的影响. 因此，三种方法的使用可以调整成如下的组织结构：综合法作为不等式发现的方法—从比较大小的角度选择作差法证明—从运用不等式性质及逻辑的角度选择分析法证明.

值得说明的是，这三种方法是不是都要讲？是不是一定要照此来讲？教无定法，贵在得法. 笔者认为，应该以单元学习的整体视角来审视证明方法的选择，有什么样的目标定位就选择什么样的证明方法（或方法的组合），灵活整合这些方法进行讲评，不能孤立地将其作为证明的某一种方法进行传授，而应作为整体认知中某一个逻辑点来考量.

四、弦图处理：在已有活动经验中进行深度认知

赵爽弦图是经典的教学素材，其结构精妙、内涵丰富，是数与形完美统一的典范. 各版新教材很重视对该素材的使用及教学功能的开发：人教A版在正文中以“探究”的方式认知赵爽弦图中蕴含的相等关系和不等关系;北师大版在阅读材料介绍赵爽弦图并揭示其中蕴含的不等关系;苏教版以“练习题”的方式要求学生指出赵爽弦图的构成，并直接说明其中存在着的不等关系;湘教版在正文中以问题的形式构建出[a2+b2>][2ab]. 除此之外，我们还可以充分挖掘赵爽弦图的教学功能，引导学生在已有活动经验的基础上进行深度的认知活动.

学生在初中阶段已经借助赵爽弦图研究了勾股定理，学习基本不等式时再次运用赵爽弦图进行研究，学生已经具备一定的认知经验——同样的图象背景和认知方式（均是从几何图形中构建代数关系），不同的问题指向（从等量关系到不等关系），这些都是认知经验的延续与拓展. 实际上，在教学中可以引导学生利用该学材进行以下探究性活动.

显而易见，上述探究活动和之前通过弦图发现（或几何解释）基本不等式的认知方式保持一致，是在已有活动经验下进行的探究，而且获得的结论是经典的不等式链，学生能够再次感受到几何图形中蕴含着的代数关系的统一美与和谐美，进而带着这样的认知经验和鉴赏体验去探求更丰富的数学结论，这无疑对学生进行深度认知是有促进意义的.

总之，教材是教学活动开展的行动指南. 在使用教材的过程中，不仅要充分尊重教材，理解教材编写思路和编者意图，充分认识教材所承载的学科功能与教育价值，还要理性考量教材中的素材，创造性地使用教材，以学生的认知和数学的逻辑来审视教学素材，结合教学的实际情况进行重构，真正发挥教材的教育教学价值，促进学生对知识本质的理解.

参考文献：

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