信息技术助力探究知识的内在联系

马媛

摘  要：在信息化教育背景下，如何提高课堂教学质量，使学生在有效的时间内更高效地吸收知识，是当前一直在探索的问题.“一次函数与方程、不等式”一课是高效课堂教学模式的初探，力求在信息技术的辅助下，通过不同问题的设计和不同信息技术软件的运用，为学生搭建阶梯，使学生在学习数学的过程中通过已有知识去探索未知的知识，同时巩固所学的旧知，逐渐体会不同知识点之间的相互联系.

关键词：高效课堂;信息技术;数形结合

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课的内容选自人教版《义务教育教科书 · 数学》八年级下册“19.2.3 一次函数与方程、不等式”.

2. 内容解析

该部分内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中的“数与代数”领域，是在学生学习了平面直角坐标系、函数的概念、函数的图象和一次函数的基础上，从函数的角度讨论一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组三个已学对象. 它们不是新知识，但学生对其的认识还有待进一步深化. 本节课用函数的观点对它们重新进行分析，这种再认识不是简单的知识回顾，而是从“数”与“形”两个方面进行动态分析，强调知识之间的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，用一次函数的观点把以前学习的方程和不等式内容进行整合.

教学重点：从“数”与“形”两个方面进行动态分析，用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）通过微课的学习，使学生能够用函数的观点从“数”与“形”两个方面解释一元一次方程与一元一次不等式.

（2）经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会数形结合思想，并能应用数形结合思想从“数”“形”两个方面解释二元一次方程与二元一次方程组.

（3）提升学生对函数思想的认识，加强对函数知识的应用.

（4）领悟数学思想对实际生活问题的启示作用.

2. 目标解析

目标（1）解析：本节课先让学生通过微课自学用函数的观点看一元一次方程与一元一次不等式，使学生初步了解从“数”与“形”两个方面分析一元一次方程与一元一次不等式，为后面分析二元一次方程和二元一次方程组做好铺垫.

目标（2）解析：在前面的学习中，学生已经逐渐了解了数形结合思想，接下来的二元一次方程与方程组则是对数形结合思想的巩固和深化，使学生能领悟到通过图象，利用函数思想从不同的角度看问题.

目标（3）解析：在研究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）的过程中，通过微课自学、例题延伸、变式训练、合作探究等环节，逐渐深化函数思想，提高学生的思维能力.

目标（4）解析：用函数的观点从不同的角度看问题，这种数学思想也可以延伸到生活中，从不同的角度去看生活中的实际问题，从而培养应用数学的能力.

三、教學支持条件分析

根据本节课教学内容的特点，为了能直观地突出教学重点和难点，借助信息技术工具辅助教学. 主要体现在以下几个方面.

（1）教师提前录制好微课，并将其转换成二维码，课前学生可以扫码观看微课进行自学.

（2）在课堂活动中，学生借助图形计算器软件绘制函数图象，进而借助图象直观探究二元一次方程（组）与一次函数之间的关系.

（3）利用希沃白板的同屏、放大镜、蒙层等功能辅助教学.

四、教学过程

1. 复习旧知，为新知铺路

问题1：列表法画函数图象的步骤是什么？

以函数[y=2x+1]为例，学生很轻松地回答步骤为列表、描点、连线. 教师强调首先要求出使函数有意义的自变量的取值范围.

【评析】问题1强调了“自变量的取值范围”在解决函数问题中的重要性.

问题2：如何描点与连线？试用语言表达这个过程.

以函数[y=2x+1]为例，学生根据下表中给出的每一组[x]与[y]的值，也就是点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系中找出对应的点，然后用平滑的曲线将点连接起来，画出如图1所示的函数图象.

教师补充：列表时，取的[x]与[y]的组数越多，描出的点就越多，这样画出的函数图象就越精确. 函数图象由无数个点组成，研究函数的图象本质就是研究函数图象上点的坐标.

【评析】利用希沃白板呈现表格和图象. 同时，教师手动演示描点的过程，通过对描点法的回顾，使得学生体会到函数的图象实际上是由点构成的，研究图象的本质就是研究点的坐标的变化，为学习后面的知识做铺垫.

2. 微课自学，知识反馈

教师课前使用PPT，借助几何画板软件的动态演示效果，利用录屏软件完成微课制作，并将其转换为二维码，方便学生观看. 微课内容为从函数的角度讨论了一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组，并以[y=2x+1]为例进行说明.同时，微课中设置了例题和对照练习，给学生充分的时间学习新知，巩固练习，并且有答案可以核对，及时了解知识掌握情况.

【评析】将知识点录制成微课，通过微信公众号发布给学生，让学生根据自己的实际情况进行课前预习，并且可以反复观看. 通过微课的学习，学生初步了解从“数”与“形”两个方面分析一元一次方程与一元一次不等式，为后面分析二元一次方程和二元一次方程组做好铺垫.

问题3：利用函数图象求解[2x+6=2]和[2x+6>4.]

有了前面对微课内容的学习，对于问题3，学生可以从“数”与“形”两个方面分别进行分析.

对于一元一次方程[2x+6=2]，从数的角度看，是求函数[y=2x+6]，当[y=2]时所对应的[x]值;从形的角度看，是求函数[y=2x+6]图象上纵坐标为2的点的横坐标.

对于一元一次不等式[2x+6>4]，从数的角度看，是求函数[y=2x+6]，当[y>4]时所对应的x的取值范围;从形的角度看，是求函数[y=2x+6]图象上纵坐标大于4的点所对应的横坐标的取值范围.

教师补充：一元一次方程[2x+6=2]可以通过等式的性质进行变形. 例如，可以变形为[2x+4=0]，那么就可以利用函数[y=2x+4]进行求解. 任意变形都会有与之对应的函数. 不等式亦然.

【评析】利用微课复习已学内容，巩固所学知识. 通过问题3的解决使学生体会从不同角度去分析问题，为后面用函数的观点看二元一次方程做铺垫.

3. 观察类比，探索新知

问题4：试从“数”和“形”两个角度分析二元一次方程[5x-y+17=0.]

学生利用图形计算器软件输入[5x-y+17=0]后，发现此方程呈现的图象是一条直线（如图2），此时教师引导学生将[5x-y+17=0]变形为[y=5x+17]，使学生能了解到二元一次方程可以变形为一次函数. 它们本质相同，只是存在的形态不同.

【评析】学生利用图形计算器软件画出函数图象，直观看出二元一次方程所对应的图象是一条直线. 教师再引导学生从“数”和“形”两个方面分析二元一次方程，将两个孤立的知识点联系起来，为后面用函数的观点看二元一次方程组做铺垫.

问题5：解方程组[5x-y+17=0，5x-2y+2=0.]

教师引导学生用代入法解此方程组，先将方程组变形为[y=5x+17，y=5x2+1.] 通过代入法将此方程组化为一元一次方程[5x+17=5x2+1 ①.] 通过解一元一次方程中[x]的值，得到二元一次方程组的解.

【评析】二元一次方程组的解能为后面画图做铺垫，让学生直观观察出方程组的解与两条直线交点的关系，同时二元一次方程组可以变形为一元一次方程，为后面将一元一次方程变为二元一次方程组做铺垫.

问题6：通过问题4，已经分析出每一个二元一次方程都可以转化为一次函数，其图象也对应着一条直线，那么问题5中的两个二元一次方程也都有对应的直线，试用图形计算器软件画出图象，并寻找规律.

学生利用图形计算器软件画出如图3所示的[y=5x+][17]与[y=5x2+1]的函数图象，观察发现二元一次方程组[y=5x+17，y=5x2+1] 的解恰好是两条直线的交点坐标.

【评析】通过软件的操作可以让学生直观看出二元一次方程组的解即为两条直线的交点坐标.

问题7：为什么二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标？

师生总结如下.

从数的角度分析：每个二元一次方程都有无数组解，对于问题5中的二元一次方程组，只有一组解能同时满足这两个二元一次方程. 从形的角度分析：每个二元一次方程都对应一条直线，每条直线上都有无数个点，但两条直线的公共点只有一个，所以方程組的解即为两条直线的交点坐标.

【评析】从“数”和“形”两个角度分析方程组的解与直线的交点坐标的关系，使结果上升到理论的层面，有助于学生理解此种现象，并为后面的问题铺垫.

问题8：有的方程组无解，有的方程组有无数组解，那么所对应的函数图象分别是怎样的？

方程组无解时两条直线平行，方程组有无数组解时两条直线重合.

【评析】问题8是对问题7的补充，加深学生对二元一次方程组与对应直线交点坐标的理解.

问题9：如图4，求关于[x]的方程[3x+b=ax-2]的解.

问题中给出的是一个一元一次方程，而图象给出的却是两条直线. 前面已经得到结论“每个二元一次方程对应着一条直线”，这个问题给出了两条直线，则题目中会出现一个二元一次方程，但此题中只出现了一元一次方程，这应该如何转化呢？

教师引导学生回顾问题5的解题过程，对[5x+17=][5x2+1]①式进行分析，此一元一次方程就是由方程组[y=5x+17，y=5x2+1]转化而来的. 要求学生对①式进行翻译，并引导学生回答[5x+17=5x2+1]可以看成方程[y=5x+][17]与方程[y=5x2+1]，求当[y]值相同时所对应的[x]的值.

此时，教师再次引导学生类比刚才的问题，回答问题9中的一元一次方程所代表的意义，即方程[3x+][b=ax-2]的解可以看成方程[y=3x+b]与方程[y=ax-2]的[y]值相同时所对应的[x]的值，翻译成图形语言，即求两条直线的纵坐标相同时的横坐标，通过图象可以找到答案.

【评析】此题给出的一元一次方程无法直接解出答案，必须由图象作答，这就要求学生对之前所讲述的问题要熟练掌握. 此题的出现既是对前面问题的巩固与升华，又是给后面的问题做铺垫.

4. 合作探究，加固新知

问题10：如图5，求关于[x]的不等式[3x+b>ax-2]的解集. 试类比问题9的解题过程，小组讨论完成此题.

学生回答如下：不等式[3x+b>ax-2]的解集可以看成对于方程[y1=3x+b]与[y2=ax-2]，当[y1>y2]时所对应的[x]的取值范围. 翻译成图形语言，即当直线[y1=3x+b]在直线[y2=ax-2]上方时，求所对应的[x]的取值范围.

【评析】问题10是对问题9的巩固与升华，学生通过小组合作讨论得到结论，提升运用类比思想解决问题的能力.

问题11：如图6，[y=-2x]与[y=kx+b]的图象交于点A，求不等式[k+2x+b≥0]的解集.

师生活动：教师启发学生与前面的问题进行对比、思考，组织学生讨论. 学生回答后，教师根据学生回答的情况进行强调与补充，即可以将不等式转化为两个相对应的函数，进而根据函数图象求解.

【评析】通过再次给出关于不等式的问题，帮助学生巩固前面已获得的经验. 此题还是一道变式题，使学生能在解题的过程中建立化归思想，同时希望学生实现由知识向能力的转化.

5. 动手操作，方法总结

每名学生手中都有教师提前准备的一组解析式，每组解析式可以组成一个汉字，将函数解析式输入到图形计算器软件中，便能得到解此类问题的秘籍——以不变应万变，如图7所示.

【评析】学生通过动手操作得到“以不变应万变”六个字，用不变的数形结合思想去解决此类万变的题目，让学生感知利用函数图象可以造出多变的字，激发学生数学学习的兴趣.

6. 文化素养的提升

通过本节课的学习，学生感受到可以从“数”与“形”两个角度去分析函数问题，了解到换一个角度分析问题可能会使问题的解决更加简便，数学思想在生活中同样适用.

【评析】使学生感受数学的解题思想能够应用于生活中，数学中多变的图形能够变幻出不同的人生哲理，让学生感受数学文化，感受数学在生活中的美.

五、教学反思

1. 关于微课的处理

本节课的内容是以微课中给出的知识点为基础，通过微课的学习，使学生从“数”与“形”两个方面解释一元一次方程与不等式，在这个过程中體会数形结合思想，将一次函数、一元一次方程和不等式这三部分内容联系在一起，感受知识的横向与纵向联系. 课前的微课学习为本节课做好了充足的前期准备，从而使得学生在课堂上能够顺利将思维拓展到从“数”与“形”两个方面表示二元一次方程（组），以及用数形结合思想去解含参数的不等式.

利用微课自学最大的优势体现在学生能够根据自己的实际情况调整学习进度，按照自己的步伐进行学习. 本节课有一个遗憾就是课前没有对学生的预习情况进行有效的反馈，只是课堂上提问了个别学生. 课前在布置微课作业后，可以利用信息技术软件布置关于相应知识点的题目，反馈学生自学的情况，使教师对学生的掌握程度做到“心中有数”，在设置教学目标时也会更有针对性. 自学微课在一定程度上可以提高课堂教学效率. 在高效课堂初探中，利用微课教学是较好的方式，但教师对学生学习微课的反馈也要落实到位.

2. 教学效果反思

本节课的知识含量较大. 但教师以将方程与不等式问题转化成函数问题为主线，从“数”与“形”两个角度去分析问题，整体设计以提问和变式的方式呈现，层层递进. 本节课的问题设置有梯度，前一问都是在为后一问做铺垫，解决问题的同时也对前面知识的掌握程度进行反馈.

3. 信息技术助力课堂教学

本节课中，通过充分利用信息技术软件，将图形直观地展现出来，使学生能直观地探究知识之间的内在联系.

首先，利用希沃白板对描点法进行回顾，动态演示将点连线的过程. 学生观看此过程可以更直观地理解函数的图象是由点组成的，这也是解释后面问题的基础.

其次，在录制微课的过程中，利用几何画板软件进行动态演示. 学生通过观看微课可以直观感受直线上点的纵坐标随横坐标的变化而变化，从而自然地利用函数图象解释方程与不等式的问题.

最后，利用图形计算器软件画出二元一次方程、方程组所对应的图象，使学生将二元一次方程（组）与一次函数进行联系，利用描点法的本质来解释，不断探索问题的本质.

信息技术的利用是为了达成教学目标而存在的. 单纯使用信息技术的课堂会变得华而不实，信息技术的应用也失去了它原有的价值和意义. 在信息化教育的背景下，课堂的主线不能变，要让信息技术的使用变成画龙点睛，而不是华而不实.

参考文献：

[1]刘金英，李庆.“反比例函数的图象和性质”（第一课时）教学设计与反思[J]. 中国数学教育（初中版），2011（1 / 2）：26-29.