探秘“彭罗斯特征数”

林革

如果我说2020年是一个非比寻常的年份，那么一定能得到大家的认可. 尽管国际风云变幻、疫情来袭，但丝毫不影响我国既定目标的实现——2020年全面建成小康社会.

而在数学家眼中，2020是一个内有玄机的特征数：首位数字2表示此数中有2个0，第二位数字0表示有0个1，第三位数字2表示有2个2，第四位数字0表示有0个3. 数学界把具备这种特征的数称为“彭罗斯特征数”. 最早提出这种奇异特征数的人是20世纪英国数学家、牛津大学教授罗杰·彭罗斯. 他指出：一个数的首位数字表示这个数中0的个数，而第二、三、四……位数字分别表示这个数中1，2，3…的个数，这种数就叫做特征数. 比如：1210，3 211 000，42 101 000等就是特征数，大家不妨点数验证一番. 有趣的是，彭罗斯提出这种特征数之后，又接着提出一连串相关的问题.

[提出问题]

1.这些特征数中最小的数是多少？最大的数是多少？

2.各位特征數是不是全都存在？

3.所有这种特征数的总和是多少？

提问之后，他随手在纸条上写下一串数字（最后一题的答案），并将这张纸条放进一个锦囊中封存，并宣布将在合适时机当众公开答案，以辨真伪. 看得出，这位吊人胃口的老顽童是有备而来的.

彭罗斯的问题引起了众多专业人士和数学爱好者的关注，许多人对此进行探究，并最终揭晓了锦囊中的答案. 原来，它是一个多达14位的“天文数字”：10 109 876 341 430. 那么，这个答案从何而来呢？下面就进行具体分析.

[分析问题]

【初步检验】经过检验可以确定：一位、两位、三位的特征数不