基于核心素养下对基本不等式的再思考

杨伟达

摘 要：基本不等式是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的难点.本文介绍了一些基本不等式的求解策略，仅供参考.

關键词：基本不等式;求解策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0002-02

新教材将基本不等式放入高中数学第一册第二章，

成了一线数学教师对新教材教学的热门话题，其意义深远，即突显出基础性、实用性、技巧性，又能够进一步提升学生的运算求解能力和转化与化归能力.下面是笔者对一些关于基本不等式的数学问题进行剖析，旨在提高学生的数学核心素养.

一、和与积

和与积是天生一对孪生兄弟.缺了谁，就找谁﹒如果和为定值，就要想办法找积的形式;如果积为定值，就要想办法找和的形式.在运用“和与积”时，必须满足“一正、二定、三相等”，若发现不符合三个条件时，就要进行变形，运用基本不等式即可.

例1 已知a>0，b>0，1a+2b=3，求ab的最大值.

分析 已知条件是和的形式，和为定值求积的最大值.观察、发现直接运用基本不等式即可.

解 因为a>0，b>0，

所以1a+2b=3≥21a×2b即2ab≤32，所以1ab≤98，ab≥89

所以当且仅当a=23，b=43 ，ab最小值为89.

二、倒数和

倒数和的形式如：a□+b△（a，b为正数）.当且仅当□≠△时，就要对倒数和进行变形，或加m减m、或乘m除m等方法把□变为△，最终达到乘积为定值.

例2 已知x>12，求x+22x-1的最值.

分析 观察、发现倒数和的两项乘积不是定值，不能直接运用不等式，此时需要对倒数和进行变形，直到乘积为定值时运用基本不等式即可.

解 因为x>12，所以x-12>0.

将x+22x-1=x+1x-12=（x-12）+1x-12+12≥2+12.

当且仅当x=32时，x+22x-1的最小值为2+12.

例3 求函数y=x2+3x+5x+1（x≠-1）的值域.

分析 本题看似……