应用几何画板进行立体几何的探究

欧贺宏

摘 要：本文是由一道截面问题的立几题引出，运用几何画板探究并发现了一个普遍的结论：所有平行于平行六面体底面对角线的截面中，当截面经过侧棱中点时，所得截面面积最大。

关键词：正方体;长方体;平行六面体;截面;棱中点;移动点

立体几何要求学生具备较强的空间感和想象能力，尤其当立几中出现“动态”问题时，就更为复杂;利用几何画板，通过动静结合的交互演示，不但可以使立几学起来变得更直观，而且还可以探究疑难问题。

一、问题初探：一道立几题的启示

首先，我们来看一道经常出现在高中数学中的立几题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求在所有平行于平面ACD1的截面中，截面面积何时最大？

解：如图1，当截面交于DD1边时，可知截面为一正三角形，此时显然△MNP的面积比△AD1C的面积小。当截面交于边BB1时，此时，截得的平面图形为一正三角形，且其面积比△AD1C面积小。当截面交于AA1时，截面为一六边形，下面来求其面积.

设ED1=a，AA1=L，可求得EJ=FG=IH=a，

EF=IJ=HJ=（L-a）

图1如图2，作出其平面图形，易证得EF与JI

所成角为60°，△EOJ≌△ENJ≌△FLG，

四边形LGHI为平行四边形

∴S六边形EJIHGF=S△OFI+S平行四边形LGHI=（L）2+

（L-a）×a=

∴当a=时，有Smax=L2，即当点F为棱AA1的中点时，截得的平面图形的面积最大。

所以，在正方体中，所有平行于体对角面的截面中，当截在棱的中点处时，所得的截面面积最大。

二、问题的进一步探究：

猜想1：在正方体中能得出这样的结论，那么在长方体中是否也有这样的结论？

下面，笔者利用几何画板作为研究工具来探讨这一猜想：

如图3，当截面截于棱DD1，BB1时，截面为三角形，显然面积不是最大。……