例谈一类含双变量x1、x2的不等式求解问题

摘 要：本文针对一类含双变量x1，x2的不等式求解问题，通过结合具体实例进行分析，寻求此类问题的解题策略，以便于同行交流与探讨.

关键词：双变量x1，x2;不等式求解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0043-04

含双变量x1，x2的不等式求解问题一直是高考数学的重要考点之一，并且经常以压轴题的形式出现.试题设计经常与函数、不等式结合起来进行考查，同时注重对转化与构造、函数与方程、数形结合等重要的数学思想与方法考查，试题整体难度较大，从而造成学生思维混乱，难以进行深入推理与计算.因此，本文针对这类含双变量x1，x2的不等式求解问题，将结合实例进行分析，寻求此类问题的解题策略，以便于同行交流与探讨.

一、对称转化，借助单调

例1 已知函数fx=1ex，gx=lnx，其中e为自然对数的底数，若对于任意的x1>x2>0，gx1-gx2>λfx2-fx1成立，求实数λ的取值范围.

解析 由题意得对于任意x1>x2>0，gx1-gx2>λfx2-fx1成立，即

gx1+λfx1>gx2+λfx2.设φx=gx+λfx，所以，对于任意x1>x2>0，总有φx1>φx2，故函数φx=gx+λfx单调递增.φ′x=g′x+λf ′x=ex-λxxex≥0在0，+SymboleB@上恒成立，λ≤exxmin.令y=exx，

则y′=ex·x-exx′，若y′=0，

得x=1，若y′>0，得x>1;若y′<0，得0<x<1.所以函数y=exx在0，1上单调递减，在1，+SymboleB@上单调递增，函数y=exx的最小值是y=e，实数λ的取值范围是λ≤e.

评注 由gx1-gx2>λfx2-fx1化为gx1+λfx1>gx2+λfx2

是一种数学对称美的体现，遇到类似的条件句朝着对称的方向转化.这样一来，对于任意的x1>x2>0，总有gx1+λfx1>gx2+λfx2成立，就变成了φx1>φx2，这就转化成为函数φx=gx+λfx在0，+SymboleB@上单调递增，最终转化为导数问题.

例2 已知函数fx=-lnx-2x2+1，证明对于任意x1，x2∈0，+SymboleB@，不等式fx1-fx2≥4x1-x2恒成立.

证明 fx的定义域为0，+SymboleB@.f ′x=-1x-4x，因为f ′x=-1x-4x<0，所以fx在0，+SymboleB@上单调递减.假设x1≥x2，fx1-fx2=fx2-fx1，则fx1-fx2≥4x1-x2fx2+4x2≥fx1+4x1，令gx=fx+4x=-lnx-2x2+1+4x，因为g′x=-4x2+4x-1x=-2x-12x≤0，所以gx在0，+SymboleB@上单调递减，故gx1≤gx2.即不等式fx1-fx2≥4x1-x2恒成立.

评注 含有fx1-fx2的式子关键是……