Fisher矩阵与Fisher张量

徐常青,冯 岩,宋 珊

(苏州科技大学 数学科学学院, 江苏 苏州 215009)

Fisher信息矩阵 (Fisher information matrix,简称FIM), 即Fisher矩阵, 起源于20世纪30年代, 它在统计、建模等领域中扮演着关键角色. FIM还被广泛运用于心理学、相对论和宇宙学关于黑洞(Black hole)的预测等方面. FIM在统计学中主要用于实验设计或预测模型参数对实验数据的依赖程度. 只要知道模型和测量不确定度, 就可建立FIM. 在贝叶斯统计中, 根据Bernstein-von Mises定理, 后验模式渐近分布取决于Fisher信息而非取决于先验信息. Ronald Fisher强调了FIM在最大似然估计的渐近理论中的作用, Francis Y. Edgeworth在此方面的工作见文献[5].Fisher矩阵对应于最大似然估计渐近分布协方差矩阵的逆矩阵, 因此标准化假设下Fisher矩阵可用于估计一个概率分布的协方差矩阵.为解决不完整数据的最大似然估计, Louis提出一种应用EM(expectation-maximum) 算法时通过样本观测值计算Fisher矩阵的方法, 由此得到的Fisher矩阵可用于构造渐近置信区间.Fisher矩阵还可被用于统计数据检验, 如Wald检验等.

1 预备知识

易知

τ

∈

S

(0;

m

,

n

)⟺

τ

=(1,1,…,1),且

τ

∈

S

(

N

;

m

,

n

)⟺

τ

=(

n

,

n

,…,

n

),即

τ

是集合

S

(

m

,

n

)中最大的元.的元,,…,也用表示, 其中

σ

=(

i

,

i

,…,

i

)

.

对张量=()∈

T

,, 若每个元,,…,在下标的任意置换下其值不变, 即=(),∀

τ

∈

Sym

,∀

σ

∈

S

(

m

,

n

)( 集合[

m

]上所有置换的集合), 则称为对称张量.用

ST

;表示所有

m

阶

n

维对称张量的集合.

(1)

考虑对数似然比

|

λ

({

x

,

x

,…,

x

})|>

δ

,

(2)

则称(

P

,

P

)具

δ

-区分度, 使(

P

,

P

)具

δ

-区分度的样本集

X

称为

δ

-可区分样本集, 最小

δ

-可区分样本集

X

所含样本点个数

N

称为(

P

,

P

)可

δ

-区分最小统计量. 进一步, 若

λ

>

δ

,视样本集

X

服从

P

分布, 若

λ

<-

δ

<0, 则视

X

服从

P

分布.若

λ

不满足式(2), 即|

λ

({

x

,

x

,…,

x

})|≤

δ

,则认为

P

,

P

都有效, 称(

P

,

P

)不具

δ

-区分度. 假设所有样本点均服从

P

分布, 那么

λ

(

x

)的期望为

(3……