关于丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z(c=65,89,101)

管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

设

a

,

b

,

c

为两两互素的正整数且满足

a

+

b

=

c

.

对于任意的正整数

n

,丢番图方程(

na

)+(

nb

)=(

nc

)

(1)

论文考虑方程(1)中(

a

,

b

,

c

)=(56,33,65),(80,39,89)以及(20,99,101)的情形,得到了如下结论.

定理1

对任意的正整数

n

,丢番图方程(56

n

)+(33

n

)=(65

n

)

(2)

仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

定理2

对任意的正整数

n

,丢番图方程(80

n

)+(39

n

)=(89

n

)

(3)

仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

定理3

对任意的正整数

n

,丢番图方程(20

n

)+(99

n

)=(101

n

)

(4)

仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

1 若干引理

引理1

设正整数

a

,

b

,

c

满足

a

+

b

=

c

.

若

z

≥max{

x

,

y

},则丢番图方程

a

+

b

=

c

仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

引理2

如果方程(1)有解(

x

,

y

,

z

)≠(2,2,2),则

x

,

y

,

z

互不相同.

引理3

设

a

,

b

,

c

是两两互素的正整数且满足

a

+

b

=

c

.

若丢番图方程

a

+

b

=

c

仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2),则方程(1)没有满足

z

<

y

<

x

或

z

<

x

<

y

的正整数解.

引理4

在丢番图方程(2

uv

)+(

u

-

v

)=(

u

+

v

)

(5)

中，令

u

-

v

=

m

，

v

=

n

，gcd(

m

,

n

)=1，则(5)变成(2

n

(

n

+

m

))+(

m

(2

n

+

m

))=(2

n

(

n

+

m

)+

m

),

(6)

若

m

≡3,5(mod8)，则方程(6)仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

取

m

=3，

n

=4，可得引理5.

引理5

丢番图方程56+33=65仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

引理6

设

a

,

b

,

c

为两两互素的正整数满足

a

+

b

=

c

，且2|

b

，或者

d

(

b

)=

f

表示

b

中2的最高方幂，若

a

,

c

≡±1(mod

b/

2)，则丢番图方程

a

+

b

=

c

仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

由引理6立得引理7，8.

引理7

丢番图方程80+39=89仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

引理8

丢番图方程20+99=101仅有正整数解(

x

,

y

,

z

)=(2,2,2)

.

2 定理的证明

先证定理1.根据引理1～3和引理5，只需研究方程(2)在

n

≥2且min{

x

,

y

}<

z

x

,

y

}时的情形.

情形1

x

>

z

>

y.

此时方程(2)可化为33=

n

-(65-56

n

-)

.

(7)

由于

z

>

y

,故gcd(

n

,33)>1

.

设

n

=311

n

,

u

+

v

≥1,gcd(

n

,33)=1,此时(7)式成为

(8)

由此可见

n

=1

.

(i) 若

n

=3(

u

≥1),则

y

=

u

(

z

-

y

)

.

于是(8)式可化为563(-)=65-11

.

(9)

对(9)式取模4，有1≡(-1)(mod4),得

y

≡0(mod2)

.

对(9)式取模3，有(-1)≡(-1)≡1(mod3),得

z

≡0(mod2)

.

令

z

=2

z

,

y

=2

y

,则由(9)式得2373(-)=(65+11)(65-11)

.

注意到gcd(65+11,65-11)=2

.

① 当2|

y

时，由4|(65-11)知，23-1|(65-11)

.

若7|(65-11),则(23-1·7)|(65-11),但23-1·7>23·72=392>65-11,不可能.若7|(65+11),3|(65+11),则2⫮

z

,且有65-11=23-1

.

(10)

若7|(65+11),3⫮(65+11),则2|

z

,且有65+11=2·7

.

(11)

② 当2⫮

y

时，由4|(65+11)知，23-1|(65+11)

.

若7|(65+11),则(23-1·7)|(65+11),但23-1·7>23·72=392>65+11,不可能.若7|(65-11),3|(65-11),则2⫮

z

,且有65+11=23-1

.

(12)

65-11=2·7

.

(13)

(ii) 若

n

=11(

v

≥1),则

y

=

v

(

z

-

y

)

.

于是(8)式可化为5611(-)=65-3

.

(14)

23711(-)=(65+3)(65-3)

.

(15)

类似(i)的讨论知，(15) 式不成立，从而(14)式不成立.

(iii) 若

n

=311(

u

≥1,

v

≥1),则

y

=

u

(

z

-

y

)=

v

(

z

-

y

)

.

于是(8)式可化为563(-)11(-)=65-1

.

(16)

对(16)式取模7，有2≡1(mod7),得

z

≡0(mod3)

.

因613|(65-1),故613|(65-1),但613⫮563(-)11(-),因此(16)式不成立.

情形2

y

>

z

>

x.

此时方程(2)可化为56=

n

-(65-33

n

-)

.

(17)

设

n

=27

n

,这里gcd(

n

,14)=1,

r

+

s

≥0,则(17)式成为

(18)

由(18)式可知

n

=1,且有65-332(-)7(-)=23-(-)7-(-)

.

(19)

(i) 若

r

=

s

=0,则由(19)式得56+33=65

.

(20)

根据引理5，方程(20)仅有正整数解……

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