由三组谱数据重构一类伪Jacobi矩阵

雷英杰，郭雪娟

(中北大学 理学院，山西 太原 030051)

Jacobi矩阵的逆特征值问题在数学及其他领域有着广泛应用，如振动方程、航空动力等领域.Jacobi 矩阵是对称三对角矩阵，形式为

论文研究以下一类伪Jacobi矩阵的逆特征值问题

(1)

由于此类矩阵不能通过相似变换化为Jacobi矩阵，故称之为伪Jacobi矩阵.该伪Jacobi矩阵的研究主要应用于非Hermitian量子物理领域中.近年来，人们对伪Jacobi矩阵逆特征值问题的研究也取得了一些进展.

规定

(2)

约定

σ

()记为矩阵的谱，考虑

(3)

论文首先分析的谱性质；然后研究此类伪Jacobi矩阵的一些逆特征值问题，给出其有解的充分必要条件和数值算法；最后，给出数值实例予以验证.

1 伪Jacobi矩阵谱的性质

引理1

已知是一个

m

阶Jacobi矩阵,其次对角元为

γ

,

γ

,…,

γ

-1

.

令特征值

ξ

对应的单位特征向量为

s

,

i

=1,2,…,

m

，则

χ

′(

ξ

)

s

1

s

,=

γ

γ

…

γ

-1,

i

=1,2,…,

m

，其中：

χ

′(

ξ

)是

χ

(

ξ

)的导数,

χ

(

ξ

)=det(

ξ

-),

s

1和

s

,分别是

s

的第一个和最后一个分量.

定理1

已知矩阵∈

J

(

n

,

ε

,

β

)且和+2,如(2)所示，

μ

和

μ

如(3)所示，则对于任意的

j

=1,2,…,

n

-1，当且仅当

μ

∈

σ

()∩

σ

(+2,)时,

μ

∈

σ

()

.

根据前面的介绍可知和正交且满足

从而矩阵=⊕

I

⊕也是正交矩阵,满足==，

其中

=，=⊕-⊕，=，=diag(1,

ε

+2,

ε

+2

ε

+3,…,

ε

+2…

ε

-1)，

则

det(

λ

-)=det(

λ

-)=

(4)

定理2

若

σ

()∩

σ

(+2,)=∅，则的特征值是函数

(5)

的

n

个零点.

证明

由于

σ

()∩

σ

(+2,)=∅，所以

μ

∉

σ

(),

j

=1,2,…,

n

-1

.

否则，如果

μ

∈

σ

()，则由定理1可知

μ

也为和+2,的公共特征值，这与条件矛盾.由(4)可知det(

λ

-)=0

等价于

证毕.

的

n

-

k

个零点.

证明

因为

μ

∈

σ

()∩

σ

(+2,),

i

=1,2,…,

k

，则

μ

,

μ

,…,

μ

是的特征值，因此由(4)可知，剩余的特征值是多项式

的零解.由于

μ

∉

σ

()∩

σ

(+2,),

i

∉{1,2,…,

k

}∪{

r

+1,

r

+2,…,

r

+

k

}，

时，

G

(

λ

)=0

.

此时

G

(

λ

)有

n

-

k

个零解，因此

F

(

λ

)也有

n

-

k

个零解.

引理2

已知{

ξ

,

ξ

,…,

ξ

,

η

,

η

,…,

η

-1}是由2

n

-1个成对且互不相同的复数构成的集合，则线性代数方程组

2 PJIEP有解的充要条件

对于如(3)所示的

λ

，

μ

和

μ

，按照

μ

∩

μ

=∅和

μ

∩

μ

≠∅两种情形讨论PJIEP的可解性.

定理4

对……