关于平面Ros不等式的几点注记

仇恒方，梅静芳，徐 珂

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北235000）

0 引言

众所周知，几何不等式在研究几何问题时扮演着一个至关重要的角色.一般地，一个几何不等式主要描述几何体的体积、表面积与曲率等几何不变量之间的关系（参见文献［1-3］）.根据几何不变量的性质，几何不等式可分为内在型几何不等式与外在型几何不等式.内在型几何不等式是关于面积、体积、Gauss曲率等内在不变量的不等式，大多数几何不等式属于内在型几何不等式，例如经典的等周不等式、Minkowski不等式等.而外在型几何不等式是关于平均曲率积分等外在不变量的不等式，目前对外在型几何不等式知之甚少.还有一些不等式既不属于内在型几何不等式，也不属于外在型几何不等式，即混合型几何不等式.例如著名的Fenchel不等式与Alexandrov-Fenchel不等式，以及下面的Ros不等式.

引理1［4］（Ros定理）设Σ为嵌入在R3中的紧致闭C2光滑曲面，Σ包含一个体积为V的区域K，如果Σ的平均曲率H恒大于零，则有不等式其中dA为Σ的体积元，等号成立当且仅当Σ为球面.

1990年，Osserman在文献［4］中给出引理1的一个直观的简化证明.2009年，周家足在文献［4］的基础上给出高维Ros定理的一个直观简明的几何化证明.同时，在平面情形下，周家足利用赋范空间中Hölder不等式，证明了二维空间中的Ros定理.

引理2［5］（Zhou）设Γ为欧氏平面R2中的简单光滑闭曲线，Γ所围区域K的面积为A，s为Γ的弧长.如果Γ的曲率κ处处不为零，则

等号成立当且仅当Γ为圆.

称式（1）为关于区域K的Ros等周不等式，并……