阿基米德群牛问题的分析及Python求解验证

王德贵

“群牛问题”在古希腊科学家阿基米德的研究课题中比较特别，是以诗句的形式出现在给埃拉托塞尼的一封信中。虽然其真实性有待考证，因为“群牛问题”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已，但历史上对这个问题的研究，却丰富了初等数论的内容。

下面我们也来分析一下群牛问题，并用Python求解验证。

（一）群牛问题

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。

在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。

在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。

问这牛群是怎样组成的？

（二）创意来源

通过了解知名数学难题的解题思路，并将其用于Python编程，提高我们的数学和编程水平。在我搜索的“100个数学难题”中第一个问题就是“群牛问题”，经过分析和研究，自觉颇有收获。

这是一道解不定方程组问题，有8个未知数，7个方程，有无数组解，我们可以求出最小正整数解。这个解数值较大，即使通过Python求最小正整数解也不容易。

（三）设计思路

按照编程解方程的惯性思路，方程的解可以使用枚举法去求。结果当Python程序运行后却没有输出结果（所有程序后面给出）。分析原因发现是因为解的数值过大，必须寻求更好的求解方法。

（四）程序设计过程

1.枚举法

最普通的思路，不需要过多考虑，用枚举法一个个去测试（图1）。……