一题多解在中考复习中的应用与思考

信琴琴

(华中师范大学厦门海沧附属中学 福建厦门 361026)

在第一轮中考复习中，所有学生主要以落实基本知识和基本技能为主，但学有余力的学生要能构建初中数学的知识体系，并且理清知识之间的联系。以相似三角形和锐角三角函数为例，人教版教材将锐角三角函数放在相似三角形之后，这两者之间的共同之处都是求线段的比值问题，但锐角三角函数是利用相似的直角三角形得到的，所以可以看作相似的一个特例，从本质上讲，它也可以看作是相似问题。为了通过题目使学生更加清楚这两者之间的关系，需要教师认真选题，并认真研题，通过解题析题过程，让学生以后遇到线段的比值问题时能够快速确定解题方向和策略。

一、题目选取

（2020福州二检）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°.

（1）如图1，若AE＝DE，

图1

①求证：CD平分∠ACB；

（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值。

图2

二、了解问题

本题在等腰直角三角形的背景下，已知一个特殊角，问题（1）中增加线段相等的条件，要求证CD平分∠ACB，同时还要求线段的比值，如何寻找本题的突破口？这些条件该如何使用？

问题（2），改变条件，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值。而我们知道解题的关键求出AE和BE之间的关系。

三、拟定计划，实现计划

因为已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，故∠B=∠ACB=45°。

对问题（1），根据已知条件，∠AED＝45°，AE＝DE，则∠EAD=∠ADE=67.5°。

①求证：CD平分∠ACB。只要想办法证明∠ACD=∠CAE即可解决问题。

解法1：利用外角，因为∠ADE=67.5°，∠B=45°，所以∠ACD=22.5°，因此∠CAE=22.5°，解决问题。

解法2：利用直角三角形两锐角互余，因为∠BAC＝90°，∠ADE=67.5°，所以∠ACD=22.5°，得证。

图3

分析：根据①中CD平分∠ACB的结论，联想到角平分线的性质，尝试解决问题。……