如何破解一元二次方程“整数根”问题

吉思春

对于一般的一元二次方程 ax2+ bx + c =0（a ≠0）的实根情况，只需要验证根的判别式“?= b2-4ac ”的值即可，但是对于含有参数的一元二次方程，要判断它是否有整数根，或者通过根的情况确定参数的值，就没有统一的办法了，需要根据具体情况具体分析.一元二次方程“整数根”问题涉及一元二次方程根的性质、整数的性质等多个知识点，其解法灵活多样，技巧性较强.对此，笔者总结了一元二次方程“整数根”问题的几种求解策略，以帮助同学们破解此类问题.

一、巧用因式分解法

因式分解是解一元二次方程的常用方法.在解含参一元二次方程的整数根问题时，当方程式能够直接分解因式或者适当变形后可以分解因式时，可以将原方程转化为（m1 x +n1）（m2 x + n2）=0的形式，求出两根，消去两根中表示已知量的字母参数，得到关于两根的不定方程，通过解不定方程就能确定方程的整数解.

评注：利用因式分解法破解整数根问题的关键点就是准确变形和分解因式.当不能确定参数是否为整数时可先将根求出，然后消去参数，得到一个关于整数根的不定方程，求出方程的整数根后再求参数的值.

二、妙用根与系数的关系

在一元二次方程的根的判别式△≥0 的情况下，可利用根与系数的关系，即：若关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + c（a ≠ 0） 的两根为x1 ，x2 ，则有 x1 + x2 =- ba ， x1 x2 = ca ，得到一个关于 x1，x2 的不定方程，然后进行消参，解得方程的根，再代入到原方程进行验证，求出符合题目要求的参数即可.

评注：解答本题的重难点在……