α阶右侧Caputo分数阶导数的高阶插值逼近

闫羽媛,梁宗旗

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

分数阶微积分理论及其数值逼近是数学的一个重要分支,它是传统的整数阶微积分理论的推广。近年来，分数阶微分方程及其应用得到了广泛的关注,其主要归因于分数阶微积分理论自身的迅速发展及其在数学、物理、信号和图像处理等各学科中的广泛应用。分数阶微分方程是广义非整数阶的微分方程,它能获取在时间和空间上具有幂律内存内核的非局部关系,为描述不同物质的记忆和继承性质提供了强有力的工具。研究这类方程具有明确的物理背景,同时也开启了分数阶微分和积分方程理论方面的研究。分数阶微分方程适用于描述现实世界中具有记忆以及遗传性质的物理行为或材料问题,因而更广泛地应用于反常扩散、粘性力学、流体力学、信号处理等领域。在实际求解中,分数阶微分方程的解析解很难显式给出,即使是线性分数阶方程的解析解，也大多含有一些特殊函数,而这些函数的计算本身相当困难。所以，如何构造高效的数值方法来模拟分数阶微分方程是当今最热门的研究课题。关于分数阶导数,现在有几种不同的定义,如空间分数阶Laplace算子[1-2]、Riesz空间分数阶导数[3]等。大多数文献中涉及的Riesz分数阶导数均为Riemann-Liouville框架下的分数阶导数。但Pandey等[4]指出,Caputo定义能够避免一些分数阶导数存在的质量守恒误差、超奇异反常积分、常数的导数非零、初始条件中的分数阶导数无直观的物理意义等问题。……