建构框架 渗透方法 发展素养
——以“分式”章节起始课为例

◎ 许自强

近年来，关于章节起始课的教学已经成为初中数学教学领域的热点话题，作为一章的起始课，它扮演着怎样的角色？发挥着怎样的教育功能？如何发展学生的核心素养？本文以苏科版八年级下册第十章章节起始课“分式”一课为例，聚焦知识体系的框架建构，研究方法的深入渗透，以期发展学生的数学学科核心素养，现将笔者执教的教学片断与教学思考记录如下，以供研讨。

一、概念阐释

在培养数学学科核心素养的课程目标引领下，有关“大概念”“大单元”“整章节”的数学教学研究蓬勃兴起，其中关于章节起始课的教学及研讨逐渐从幕后走向台前。章节起始课又称“单元起始课”“章统领课”，初中数学章节起始课的教学通常包括章节引言和本章正文第一小节的内容，章节引言会概略地展示章节研究的主要内容和研究思路，它承担着纵览章节内容、渗透研究方法的教学任务。

类比属于合情推理，是指根据两个对象之间具有某些相同或相似的属性，而推理其他属性也具有相同或相似性的推理方式，其结果具有或然性。［1］作为一种学习方法，类比能够充分调动已有认知经验，为提出猜想、解决问题提供依据，在数学学习活动中发挥着重要作用。

二、教学过程

（一）问题导入，唤醒经验

八年级学生已经具备了分数、整式的相关知识，但是对于分数、整式后续的研究路径和学习内容并不清晰。初中阶段“数与代数”的教学内容整体遵循“数—式”的知识内部逻辑顺序，本节课通过对整式除法的延伸，引出研究对象“分式”，进而唤醒学生在小学阶段“整数—分数”的学习经验，为从整式、分数到分式的类比学习做铺垫。

师：小学时，我们学习了整数的加、减、乘、除运算，整数相加、相减、相乘的结果仍然是整数，但是整数相除，商不是整数时，我们引入了分数来表示计算的结果（举例说明）。

师：初一时，我们学习了整式，那么整式的相加、相减、相乘、相除的结果仍然是整式吗？请同学们举例并提出猜想。

学生举例计算并提出猜想：整式相加、相减、相乘的结果仍然是整式，相除的结果不一定是整式。

师：类比整数的计算，如何表示2s÷3t的运算结果呢？

【环节分析】从运算结果的角度而言，分数是整数除法在无法整除时产生的数。类似的，我们在之前研究整式运算时，由于加法、减法、乘法具有封闭性，结果仍然是整式，而涉及整式除法时，学生自然会迁移小学学习的经验，当整式无法整除时，结果可能是“分式”。笔者通过创设数学内部问题情境，激活学生的数学学习经验，引导学生自发地使用“类比”的方式去感知、发现新概念。

（二）创设情境，数学抽象

数学来源于生活，通过用整式、分式表示实际生活中的数量关系，让学生经历“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，充分感受到研究分式不仅是数学学科内部发展的需求，也是现实生活的需要。

情境1：

一块长方形玻璃的面积为2平方米，长是3米，那么宽是____米；

将条件“面积2平方米”“长是3米”一般化为“面积S平方米”“长是a米”，则宽是____米。

情境2：

（1）有两块棉田，一块棉田的面积为2公顷，共产棉花m千克；另一块棉田面积为3公顷，共产棉花n千克，这两块棉田平均每公顷产棉花______千克。

（2）有两块棉田，一块面积为a公顷，共产棉花m千克；另一块面积为b公顷，共产棉花n千克，那么这两块棉田平均每公顷产棉花______千克。

情境3：八年级（1）班学生筹备郊游活动，班委会组织全班同学筹集活动经费300元，已知矿泉水的单价是每瓶m元，每包饼干单价比矿泉水多4元。班委会购买矿泉水用了120元，剩下的经费全部购买饼干，并正好用完。

师：你能进一步获取哪些数学信息？

生：每包饼干单价（m+4）元，购买矿泉水、饼干的数量是

【环节分析】本环节设置了三个生活实际情境，让学生充分感受到数学知识与现实生活的密切联系，同时从分数、整式这些刻画实际问题的模型过渡到分式模型，帮助学生体会到数学是刻画现实世界的有效工具。义务教育阶段数学课程标准从关注“分析、解决问题”的“两能”过渡到培育“发现、提出、分析、解决问题”的“四能”，如何从现实情境中“发现、提出数学问题”，首先要设置具有开放性的问题情境，为学生搭建思维活动的平台。通过设置开放式的问题情境3，为学生开展分式、分式计算、分式方程的学习活动做好铺垫。

（三）概念归纳、辨析、精致

概念来源于抽象，是对大量典型案例的共同、本质属性概括而成的，“数学能力就是以数学概括为基础的能力”。在本节课的概念教学中，学生完整经历分式概念从萌芽、产生到归纳、概括的过程，然而这样的概念学习过程仍然是不完整、不充分的。在对分式概念下定义，形成符号化概念之后，经历概念辨析和精致的过程，将分式这一新概念纳入已有的概念体系，建立其与关联概念的联系，实现了概念认知的系统化、结构化。

1. 概念归纳

在生活情境中抽象出的代数式中，哪些代数式是我们已经学习过的？

观察“新”代数式有何共同特征，小组交流。

生1：这些代数式类似分数，分母中含有字母。

师：从运算的角度看，这些代数式是如何产生的？

生2：两个整式的商。

类比建构概念：“整数和分数统称为有理数”，我们将“整式和分式统称为有理式”。

2.概念辨析

辨一辨：下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

生3：（2）（4）（5）是整式；（1）（3）是分式。

师：整式和分式的区别是什么？

生4：整式的分母中不含字母，分式的分母中含字母。

3. 概念精致

说一说：分式与整式有何关系？分式与分数有何关系？

生5：分式是两个整式相除的商。

生6：分数和分式形式上类似。

（师引导）用字母表示分数的分母则形成分式，分式是分数的一般化，当分式中的字母取具体数值时变为分数，分数是特殊化的分式。

【环节分析】数学概念是学科的基石，是数学学习的重中之重。概念教学需要让学生经历概念抽象、归纳的概括过程，章建跃先生关于概念教学有如下论述：概念教学应当经历7个基本环节：背景引入、典例分析、概括本质特征、下定义、辨析、做判断、精致。［2］关于分式的教学遵循概念教学的基本步骤，引导学生观察一系列典型的分式，从形式、特征等方面归纳、概括分式的定义，再通过对正例、反例的辨析，建立分式与分数、整式的联系，形成完整的分式概念认知结构。

（四）类比学习，建构框架

在上述环节中，学生通过唤醒头脑中关于整式、分数的认知经验，自发地展开类比学习，而在分式的后续学习中，教师应当逐步指导学生主动利用类比的学习方法为分式章节内容的学习架设桥梁，建构框架。力求帮助学生对思维方法的应用实现从自发水平到自觉水平的飞跃，并有意识地运用类比的研究方法对分式方程进行深入探究，积累“类比学数学”的活动经验。

问题1：当a=2时，求分式的值。

生1：类比整式求值，代入计算。

师：请你选择2个喜欢的数代入a，计算分式的值。

问题2：小学阶段，我们学习了分数的哪些知识？类比分数的学习内容，关于分式我们会进一步学习哪些内容？

生2：分数的基本性质；约分通分；分数的加减乘除；分数的应用题。

进一步学习分式的基本性质；分式约分通分；分式的加减乘除；分式的应用。

师生共同梳理本章知识框架，具体如图1所示。

图1 本章知识框架

再探情境3：（见上文）

师：若购买矿泉水的数量是饼干的2倍，你能进一步获取哪些数学信息？

师：关于这个方程，你想研究什么？如何研究这样的方程？

生4：这是一元一次方程吗？如何解该方程？可以通过类比一元一次方程进行研究。

【环节分析】类比是数学学习的重要方法，类比整式求值自然获得分式求值的方法；类比分数的有意义的条件，自然获得分式有意义的条件；类比分数的学习内容，获取分式的学习内容框架。从学生自发的运用类比学习，到教师指引学生明确“类比”学习的方法、路径和价值，深化了方法意识。

三、教学思考

（一）类比分数学分式，渗透思想方法

本节课是分式一章的起始课，核心是分式的概念。作为起始课教学，需要引导学生类比分数的学习建构分式研究的整体思路和方法：从数学学科自身出发，类比分数表示整数运算结果的方法，研究整式的运算，产生分式；从生活实际情境出发，从分数这一刻画实际问题的模型过渡到分式模型，从特殊到一般，抽象分式概念；类比有理数的概念，建构有理式的概念；类比整式求值的方法计算分式的值；类比分数有意义的条件研究分式有意义的条件；类比分数的基本性质、运算法则和内容框架，尝试建构分式的章节内容框架；类比一元一次方程而研究分式方程。在上述的学习过程中，学生整体建构了分式章节的内容框架、知识脉络，同时体会、运用了研究分式的重要方法“类比”，在这一过程中学生的数学学科核心素养得到了发展。

（二）精心设置问题情境，让问题驱动学习进程

问题是数学的心脏，好的问题可以激发兴趣、启迪思考、促进学生知识、经验的自然生长。本节课精心设置了开放式的问题情境，为学生提供了自行思考并用他们的数学观念、经验来表达的机会，为学生搭建了自主建构数学学习经验的平台，给予学生表达他们对问题不同层次理解的机会。

例如，教学环节（一）中的问题“我们学习了整式，那么整式的相加、相减、相乘、相除的结果仍然是整式吗？请同学们举例研究并提出猜想。”这是一个探究性的开放问题，适宜采用小组合作的组织形式，目的是让探究真实的发生。学生在回顾了整数运算的基础上，自然地过渡到研究整式运算的问题，并在举例的基础上提出整式除法运算结果不一定为整式，学生完整地经历了“类比—猜想—举例—验证—归纳”的探究过程，对分式在数学内部的生成过程有了初步的认识。

又如，教学环节（二）中的情境3，在这个贴近学生生活的现实情境中，蕴含着一定量的数学信息，不同层次的学生能够获取不同的数学信息，并体会分式是刻画生活实际的有效模型，因为具有足够的开放性，情境3是一个能贯穿于分式章节学习的典型情境，从分式、分式计算到分式方程，有效驱动知识的自然生成、推动学习进程的发展。

教学环节（四）中“请你选择2个喜欢的数代入a，计算分式的值”，这个问题既检测了学生对分式求值的掌握程度，又为后续的“分式值为0的条件”“分式有、无意义的条件”问题做好了铺垫，让问题、知识自然而然地在学习进程中出现并延伸，提高了课堂教学效能。

（三）经历概念生成过程，有序构建概念体系

在以往的概念教学中，教师往往采用“举例—提出概念定义—讲解例题—练习巩固”的教学模式，而分式的第一课时由于教学内容较为简单，有些教师通过增加练习量来填充教学内容，导致课堂枯燥乏味。

实际上，分式的概念是分数、整式知识迁移深化的结果，是“有理数、整式、分式、（二次根式）、分式方程、反比例函数”这一知识脉络上的关键节点，起着承上启下的作用。分式的概念教学应当让学生完整地经历分式概念的生成过程，通过回顾分数的引入过程，类比研究整式相除的商，进而得到一系列新代数式——分式；在实际情境中，需要用分式表示数量，在此过程中体会到分式是刻画某些实际问题的数学模型。在此基础上，对分式概念的本质属性进行交流归纳，从而经历概念抽象、下定义、符号化的完整过程。通过分式与整式、分式与分数的辨别，既明确了概念之间的区别，也建立起了概念之间的联系，分式与分数不仅形式上相似，两者也可以互相转化，分式是分数的一般化，分数是分式中字母取具体数值特殊化的结果，感受数与式的通性。基于此，学生能够进一步展开后续的类比学习，类比分数的性质、约分通分、运算法则研究分式的相关内容，在类比学习的过程中体会到数学概念的内在联系性、数学知识的体系有序性、数学学习的逻辑连贯性。在师生共同建构全章知识结构框架的过程中，积累数学活动经验，让学生真正认识到学习的对象是什么，该如何学，而这些数学思想方法、活动经验是机械、重复的练习所无法带给学生的。

章节的起始课，对整个章节起到了概览、引领的作用，是章节学习的先行组织者。首先，起始课发挥着激发认知兴趣、彰显数学价值的作用，即“为何学”；其次，起始课往往涉及本章的基本概念，优化概念教学，引导学生整体建构章节的内容框架，也是其应有之义，即“学什么”；除此以外，起始课蕴含、渗透数学思想方法，承载着建构研究思路、揭示研究方法、积累研究经验的价值，要让学生既见树木，更见森林，培育学生学习数学的方法意识，即“怎么学”；最终从数学学习的元认知层面发展数学学习能力，提升数学学习素养。