抛物线定义在无理函数最值的应用演绎

王淼生 叶建聪

（1.厦门第一中学，福建 厦门 361003；2.福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025；3.厦门市五显中学，福建 厦门 361100）

抛物线作为圆锥曲线“大家庭”中的一员，其定义在很多方面有突出表现.以下通过三个具体案例，凸显抛物线定义在无理函数最值（最大值、最小值）上的精彩应用，彰显抛物线（圆锥曲线的精髓）的精髓——数形结合思想：以数构形，由形助数.

一、案例呈现

构造点A(2,3)，B(1,0)，P(x2,x)，则上式表明f(x)max就是|PA|-|PB|的最大值.

事实上，动点P(x2,x)的轨迹方程为y2=x（之所以配方就是为了构造抛物线），即在抛物线y2=x上寻找点P，使得|PA|-|PB|有最大值，如图1 所示.观察图1 易得：

图1

此时，线段AB的延长线与抛物线y2=x的交点正是满足题意的点P.

解法2：其实，还可以将函数f(x)的表达式适当变形为：

构造点C(3,2)，D(0,1)，Q(x,x2)，则上式表明f(x)max就是|QC|-|QD|的最大值.

事实上，动点Q(x,x2)的轨迹方程为x2=y，即在抛物线x2=y上寻找点Q，使得|QC|-|QD|的最大值，如图2 所示.观察图2 可得：

图2

此时，线段CD的延长线与抛物线x2=y的交点正是满足题意的点Q.

解：函数g(x)表达式后半部分的根号表示动点P(x,x2)与定点之间的距离|PA|.动点P的轨迹为准线l方程为、焦点为的抛物线x2=y，定点A为该抛物线外一定点.函数g(x)表达式前半部分“x2”的含义即为动点P到x轴的距离|PB（|B为垂足），如图3 所示.据此可知g(x)=|PB|+|PA|.观察图3 可得：

图3

依据抛物线定义可得|PC|=|PF|，于是得到

此时，线段AF与抛物线x2=y的交点正是满足题意的点P.

解：依据两点间距离公式，不难发现函数h(x,y)表达式前半部分的根号表示动点P(x,lnx) 与动点之间的距离|PQ|，而动点P(x,lnx)在曲线y=lnx上运动，动点在准线l方程……