单位球上含梯度项的椭圆边值问题径向解的存在性与唯一性

唐 颖, 李永祥

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

非线性项中含梯度项的一般椭圆边值问题描述了等离子体物理学、 气体动力学及固体物理学中的许多现象， 研究其解的存在性与唯一性有一定的理论意义. 本文讨论单位球上含梯度项的椭圆边值问题(BVP)：

(1)

径向解的存在性与唯一性, 其中:Ω={x∈N: |x|<1},+=[0,+∞),N≥2;f:I××+→为非线性连续函数,I=[0,1].

对非线性项中不含梯度项的特殊情形, 即简单椭圆边值问题:

其径向解的存在性已有较深入的研究[1-4].对非线性项含梯度项的情形, 当Ω为环形区域或球外部区域时, 文献[5-7]讨论了其正径向解的存在性, 其中文献[5-6]在非线性函数f(r,ξ,η)非负, 且允许f关于ξ,η超线性或次线性增长的条件下, 利用不动点指数理论获得了BVP(1)正径向解的存在性结果.但对于球域该结果并不成立.事实上, 文献[5]给出了一个典型的例子:

(2)

(3)

没有正径向解.此时, BVP(3)为BVP(2)中a=1,b=0的特例.因此, BVP(2)在球域上无正径向解.研究球域上椭圆边值问题径向解的存在性比环域及球外部区域上的椭圆边值问题径向解的存在性更复杂.目前， 关于球域上BVP(1)径向解的存在性结果研究报道较少.文献[8]用上下解方法研究了单位球上BVP(1)正径向解的存在性, 在非线性项f满足适当的不等式条件下, 获得了BVP(1)正径向解的存在性结果, 该不等式条件允许f(r,ξ,η)关于ξ和η负向超线性增长.本文研究单位球上椭圆BVP(1)径向解的存在性与唯一性, 在允许f(r,ξ,η)关于ξ和η超线性增长的条件下, 用Schauder不动点定理给出BVP(1)径向解及正径向解的存在性结果, 并通过……