带有特殊非线性项的Dirichlet问题正解的确切个数

姚燕燕, 徐 晶, 高红亮

(兰州交通大学 数理学院, 兰州 730070)

1 引言与主要结果

考虑当非线性项为f(u)=u(eu-1)和f(u)=eu-1两种形式时, 一维Minkowski空间给定平均曲率方程Dirichlet问题

(1)

正解的确切个数及分歧图, 其中参数λ,L>0.

平均曲率问题是偏微分方程中的一个重要问题.设Ω⊂N为一个区域,k≠0是常数.考虑方程

(2)

当k=1时, 方程(2)称为Euclidean空间中的给定曲率方程; 当k=-1时, 方程(2)称为Minkowski空间中的给定曲率方程.问题(1)是Minkowski曲率方程Dirichlet问题

(3)

的一维情形.研究表明, 这些问题在微分几何和狭义相对论中具有重要作用[1-5].

近年来, 关于一维或高维Minkowski空间给定平均曲率方程Dirichlet问题的研究受到广泛关注, 如文献[6-14]用非线性分析的方法获得了问题(1)或(3)正解的存在性和多解性, 其中： Bereanu等[6]用Larea-Schauder度理论研究了非线性边值问题

(φ(u′))′=f(t,u,u′),l(u,u′)=0

解的存在性和多解性, 式中l(u,u′)=0表示在[0,T]上Dirichlet、 周期或者Neumann边界条件,φ: (-a,a)→是增同胚且φ(0)=0; Coelho等[7]用变分方法和拓扑度理论研究了一维Minkowski曲率方程Dirichlet问题(1)正解的存在性和多解性, 其中λ>0为参数; Bereanu等[8-9]利用临界点理论、 上下解方法和Larea-Schauder度理论讨论了Minkowski空间中Dirichlet问题(3)在球域上径向正解的存在性和多解性; Ma等[10]用分歧理论研究了球域上问题(3)正解的全局结构; Dai等[11]用分歧理论分别讨论了非线性项在零点渐近线性、 次线性和超线性情形下球域上问题(3)径向变号解的全局结构.

上述文献对平均曲率问题正解的存在性研究较多, 而对其正解的确切个数研究较少. Zhang等[12]用时间映像原理研究了问题

(4)

正解的确切个数及分歧图, 其中参数λ>0,L>0, 得到了如下结果.

定理1[12]假设f满足如……