一个带权函数抛物方程有界弱解的存在性

李 仲 庆

(贵州财经大学 数统学院, 贵阳 550025)

1 引言与主要结果

考虑如下抛物方程:

(1)

其中Ω是N中的有界域, ∂Ω为其光滑边界,N>2,ΩT=Ω×(0,T),ΓT=∂Ω×(0,T).假设:

当权函数a(x,t)恒为1时, 问题(1)为经典的热传导方程[1].文献[1-2]研究了热方程的正则性; Murthy等[3]研究了带权函数的Sobolev空间及带权函数的Sobolev嵌入问题; Cirmi等[4]研究了带权函数且梯度具自然增长条件的椭圆和抛物方程解的L∞估计; 文献[5-7]考虑了方程低阶项的正则化效应与解最大模估计的关系, 该方法可视为Giorgi迭代技术做L∞估计的辅助.

文献[8]研究了问题(1)的静态模型.与文献[8]相比, 抛物方程需考虑形如

的估计.当q=2时, 文献[9]给出了其抛物嵌入结果.但当1≤q<2时, 需给出新的抛物型嵌入估计, 使得一方面可利用Giorgi迭代引理估计水平集{(x,t)∈ΩT: |u(x,t)|>k}; 另一方面, 在L∞估计的过程中右端源项可确定水平集的幂次.本文在经典的Sobolev空间框架下, 讨论带权函数的抛物方程, 先对权函数进行扰动, 构造合理的正则化方程; 再选取合适的检验函数, 对弱解序列的水平集做估计, 利用Giorgi迭代技术[1]得到解的最大模估计; 最后结合扰动弱解序列的能量估计, 用弱收敛方法证明解的存在性. 本文主要结果如下:

定理1如果假设条件(H1),(H2)成立, 则问题(1)存在有界弱解

2 定理1的证明

2.1 扰动问题

受文献[8]启发, 对权函数a(x,t)做如下扰动：

则问题(1)对应的正则化方程为

(2)

an(x,t)≤a(x,t)+1,

an(x,t)→a(x,t), a.e.于ΩT,

且

(3)

2.2 L∞估计

命题1如果假设条件(H1),(H2)成立, 则存在不依赖于n的正常数C, 使得

证明: 记Gk(s)=(|s|-k)+sign(s),χA表示集合A上的特征函数.令k>‖u0‖L∞(Ω),τ∈[0,T], 选取Gk(un)χ(0,τ)为问题(2)的一个检验函数, 则有

记

由分部积分公式[10,12]及k的选取, 可得

(5)

因此L2可估计如下:

结合式(4)～(6), 对τ取上确界, 可将式(4)估计为

(8)

可得

(9)

用式(9)估计式(8)可得