Black-Scholes模型下美式期权定价的神经网络算法

宋海明, 侯 頔

(吉林大学 数学学院, 长春 130012)

0 引 言

期权根据行权时限划分, 可分为欧式期权和美式期权. 欧式期权只能在到期日实施, 美式期权可在到期日前的任意一个交易日实施. 因此关于美式期权定价的研究备受关注. 本文考虑Black-Scholes模型下的美式看跌期权定价问题, 给出一种新的神经网络求解算法. 经典的Black-Scholes模型为

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其中美式看跌期权价格P是依赖于时间t和标定资产价格S的函数,σ,q,r,T和K分别表示标定资产的波动率、 红利、 无风险利率、 到期日和敲定价格,B(t)表示未知的最佳实施边界,Z+=max{0,Z}.

美式期权定价模型(1)是一个自由边界问题, 不存在显式表达式, 因此关于其数值方法的研究备受关注, 目前已取得了许多成果[1-8], 其中最经典的是由Cox等[1]提出的二叉树法, 该方法思路简单、 易实现, 但收敛速度较慢, 且不易推广到高维. Monte Carlo方法[2]因其不依赖维数的优势, 广泛应用于期权定价问题的求解中, 但该方法需要大量的采样才能达到较高的精度, 在实际应用中难以实现.

传统的数值方法通常是针对低维方程设计的, 当维度增加时数值格式设计较困难, 且计算量呈指数增长, 会导致维度灾难.神经网络作为一种机器学习技术, 易实施, 为高维问题的数值求解提供了可能.因此, 本文提出一种新的求解美式期权定价问题的神经网络算法, 并通过与经典的二叉树方法对比说明该算法的优越性.

1 深度神经网络

图1 深度神经网络结构示意图Fig.1 Schematic diagram of architecture of deep neural network

本文针对美式期权定价……