Hilbert型级数不等式的研究进展及应用

洪 勇, 陈 强

(1. 广州华商学院 应用数学系, 广州 511300； 2. 广东第二师范学院 计算机科学系, 广州 510303)

0 引 言

Hilbert型级数不等式是研究级数算子有界性及算子范数的重要工具, 自1908年Hilbert级数不等式诞生以来, 随着独立参数的引入和权函数研究方法的创立, 目前已形成了较完善的理论体系. 1908年, 文献[1]给出了著名的Hilbert不等式：

(1)

(2)

若将序列空间lp推广为更广泛的加权序列空间：

(3)

为Hilbert型级数不等式.若定义级数算子T：

则可证明式(3)等价于算子T的不等式：

(4)

关于Hilbert型不等式理论和应用的研究目前已取得了丰富成果[3-25]. 文献[3]对齐次核的Hilbert型积分不等式的研究进展进行了综述； 文献[4]对Hilbert型积分不等式从齐次核到非齐次核的发展进行了回顾. 事实上, Hilbert型级数不等式是伴随积分不等式的发展而发展的, 它们有许多共性, 也有一些较大差异, 在一定程度上级数不等式的讨论更具挑战性. 本文对Hilbert型级数不等式的研究进展与现状进行分析综述， 并给出部分最新研究结果.

1 Hilbert型级数不等式的研究特点

类似于Hilbert型积分不等式, Hilbert型级数不等式的研究方法仍主要是权函数方法： 引入两个搭配参数a,b, 根据级数形式的Hölder不等式可得

引入权函数：

此时需要对ω1(b,p,m)和ω2(a,q,n)进行处理, 通常需要将其化为积分后再利用实分析的各种技巧进行估算, 要求K(m,t)t-bp和K(t,n)t-aq关于t在(0,+∞)上单调递减, 若不满足该递减条件, 则要用Euler-Marclaurin求和公式对ω1(b,p,m)和ω2(a,q,n)进行分析处理, 因而讨论通常变得很困难.若能得到

则可得

从而得到了Hilbert型级数不等式.然后再讨论……